410. SOLUCIÓN de 110. Pescando fracciones unitarias

    Profe, mire. Podemos escribir la fracción unitaria 1/6 como suma de dos fracciones unitarias iguales: 1/6 = 1/12 + 1/12. Pero... ¿de cuántas formas se podría escribir 1/6 como suma de dos fracciones unitarias diferentes, es decir, 1/6 = 1/m + 1/n con números naturales m y n diferentes? (Para simplificar podemos suponer que m > n). Ya he pescado algunas soluciones pero no sé si las tengo todas...

    Os propongo esta duda de Pepe Chapuzas como ejercicio. Encuentra (o pesca) todas las soluciones.
    Además, calcula, para cualquier fracción unitaria 1/k, el mayor valor de m y el menor valor de n para que 1/k = 1/m + 1/n. (Con k, m y n números naturales, por supuesto.)

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla le gustaba pescar (siempre que no fueran peces)...

    Profe, he pescado todas las parejas de fracciones unitarias diferentes que suman 1/6. Son estas: 1/42 + 1/7 = 1/24 + 1/8 = 1/18 + 1/9 = 1/15 + 1/10 = 1/6.
    En el caso 1/k = 1/m + 1/n, tiene que ser n > k porque 1/k > 1/n. Así pues, el menor valor de n será k+1, y despejando m = 1/(1/k–1/n) = k·n/(n–k) y sustituyendo n por k+1 tendremos que el mayor valor de m será k(k+1).

    Si 1/a = 1/b + 1/c + 1/d (con a < b < c < d, números naturales) ¿Cuál es el mayor valor que puede alcanzar d?