396. SOLUCIÓN de 96. La cuerda de la vaca.

    Como problema del mes Pepe Chapuzas ha pinchado en el tablón el siguiente...

    Un granjero tiene un campo de heno. Es de forma cuadrada, tiene media hectárea de superficie y está vallado. Deja pastar allí a una vaca pero solo en la mitad del campo, para lo cual, la ata a una estaca bien clavada en el suelo. Calcula la longitud de la cuerda si la estaca está...
    a) ...en el centro del campo.
    b) ...en un vértice del campo.
    c) ...en el punto medio de un lado del campo.

    Resuélvelo y me mandas la solución.

SOLUCIÓN

    Lo primero que hizo Nina Guindilla fue calcular el lado del campo cuadrado de heno.

    Profe, mire. El área del cuadrado es de 0,5 ha = 5000 m², por lo tanto el lado del cuadrado medirá L =  √5000 = 70,71 m.
    a) La cuerda de la vaca es el radio R del círculo y el área del círculo es la mitad del área del cuadrado: πR² = 2500 m². Por lo tanto R = √(2500/π) = 28,21 m. Solo queda comprobar que el diámetro 2R de la circunferencia es menor que el lado L del cuadrado: 56,42 < 70,71.
    b) La cuerda de la vaca es el radio R del cuadrante y el área del cuadrante es la mitad del área del cuadrado: πR²:4 = 2500 m². Por lo tanto R = √(10000/π) = 56,42 m. Solo queda comprobar que el radio R es menor que el lado L: 56,42 < 70,71.
    c) El área A donde puede pastar la vaca se puede descomponer en un sector circular S y dos triángulos rectángulos T. Es decir, A = S + 2·T = 2500 m². 

    La altura del triángulo rectángulo es L/2 = 35,36 m, y la hipotenusa es el radio R del sector, por lo tanto la base del triángulo rectángulo medirá √(R²–(L/2)²) = √(R²–1250) , y de ese modo tenemos que 2·T = √(R²–1250)·35,36.
    El ángulo del sector es 2·arcsen(L/2/R) = 2·arcsen(35,36/R), por lo tanto tenemos que su área será S = R²·arcsen(35,36/R).
    La ecuación no es nada fácil: R²·arcsen(35,36/R) + √(R²–1250)·35,36 = 2500. Lo que está claro es que la solución me dará la cuerda de la vaca...

    Está claro que ni Pepe ni Nina podían llegar más lejos...
    ¿Puede alguien dar una solución aproximada?