jueves, 10 de diciembre de 2015

714. El enigma de las pirámides. RESOLUCIÓN

    Profe, en la página de fórmulas de cuerpos geométricos viene la del volumen de cualquier pirámide, pero para los troncos de pirámide solo viene la del tronco de pirámide cuadrada. ¿Hay que reconstruir siempre la pirámide entera, truncarla, y restar volúmenes?

    Era verdad. Solo aparecía el tronco de pirámide cuadrada... Le dije a Pepe Chapuzas que si las bases eran paralelas la fórmula era muy facilita,  V = h · M , donde  h  era la altura del tronco y  M  era la media heroniana de las bases...  y que esta fórmula también servía para el troco de cono... Por supuesto no le había resuelto nada...

    Busca en Internet cómo se calcula la media heroniana de dos cantidades. Después calcula el volumen del tronco de pirámide de la figura de las dos formas (a partir de la pirámide entera y con la media heroniana) y le cuentas a Pepe cómo lo has hecho.
SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró fácilmente la definición de media heroniana de dos cantidades...

    La media heroniana de dos números (positivos) A y B es la media aritmética de A, B y la media geométrica de A y B...

    Definida así, la media heroniana seguía siendo todo un misterio... Hacía falta una fórmula. Nina la proporcionó sin hacerse de rogar...
    Profe, lo he hecho de las dos maneras y sale lo mismo...

    a) Con la media heroniana: 
    Primero calculo las áreas de las bases alta y baja (A y B). La base baja es un hexágono regular y su área se calcula multiplicando el semiperímetro por la apotema. Así tenemos que B = 30 · 75 . Como la base alta es semejante a la baja con razón de semejanza 1:2, tenemos que A = 30 · 75 : 4 . La media geométrica de A y B será 30 · 75 : 2  y la media heroniana será  M = 35 · 75 : 2 . Como la altura del tronco de pirámide mide  h = 75 , entonces el volumen del tronco de pirámide vale V = 35 · 75 · 2 =  1312,5 metros cuadrados.

    b) Sin la media heroniana:
    Se puede considerar un tronco de pirámide como una pirámide truncada, o sea, una pirámide a la que le hemos seccionado el pico. (El pico no es otra cosa que una pirámide semejante.) En este ejercicio, la razón de semejanza entre las dos pirámides es 1:2, por lo que el volumen de la pirámide truncada que queremos calcular será 7:8 de la pirámide sin truncar. Como la altura de la pirámide sin truncar es  H = 2 · 75 , el volumen de la pirámide truncada será  V = 7 : 8 · B · H : 3 = 7 : 8 · 30 · 75 · 2 · 75 : 3 = 1312,5 metros cuadrados.

    Nina es tan chapucera como Pepe a la hora de detallar los cálculos... Ahora te toca a tí hacer el trabajo feo: justifica todos los pasos de los cálculos de Nina.
 
RESOLUCIÓN
 
    A Yoyó Peluso no le gustaban los trabajos feos (por no decir los trabajos sucios). Yoyó empezó a darle vueltas al asunto ya que lo de dar vueltas se le da muy bien a Yoyó ;-) Empezó a imaginarse las medias como segmentos paralelos a las bases A y B de un trapecio...
    Profe, mire. La media aritmética a de las bases A y B es la longitud del segmento equidistante de las bases... La media geométrica g es la longitud del segmento que divide al trapecio en dos trapecios semejantes... La media heroniana m es una media ponderada de la media aritmética y la media geométrica con pesos 2/3 y 1/3 respectivamente: m = (2a+g)/3. La distancia del segmento m al segmento a será la mitad de la distancia del segmento m al segmento g...

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