martes, 8 de diciembre de 2015

711. El cuadrilátero olvidado. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le encantan las ilustraciones de los libros. Yo creo que tiene memoria fotográfica porque en menos de un minuto se aprendió la clasificación de los cuadriláteros:
33
    Profe, en la página 33 tenemos, arriba los paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide; y abajo: el trapecio isósceles, el trapecio escaleno, el trapecio rectángulo y, el más feo de todos, el trapezoide. Pero profe, ¡qué chapuza de clasificación!, ¿dónde está mi cometa?
    Le respondí que su cometa era un trapezoide..., y al ver su cara de disgusto añadí que era un trapezoide muy especial: con simetría respecto de una diagonal...; que era tan especial que hasta tenía nombre: era un deltoide...; que para calcular su área servía la fórmula del rombo: A=D·d/2 ..; y que si no estaba en la página 33 sería por puro olvido... No se si quedó satisfecho con mis excusas.

    Al cabo de los años, ya en Bachillerato, propuse el siguiente problema:

    Investiga cuánto miden los ángulos de las teselas de Penrose denominadas "kite" y "dart" y calcula sus áreas sabiendo que los lados mayores miden 10cm. Observa las figuras.
    Pude comprobar la buena memoria de Pepe porque exclamó: ¡Profe, si son deltoides!

    Resuelve también tú el problema. Espero tus comentarios.

    Si quieres saber más sobre cuadriláteros pincha en el siguiente enlace:


    Hasta pronto.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla buscó y encontró los ángulos de las teselas de Penrose:
    Profe, esos ángulos los había visto antes en algún sitio: ¡en el pentágono regular con sus diagonales!
    De hecho, si se fija uno un poco... ¡Ahí estaban "kite" y "dart"!
    Y también estaba la razón áurea...
    Así que era muy fácil calcular las diagonales de los deltoides de Penrose:
    Por lo tanto el área de "kite" es 11,76 · 10 / 2 = 58,8 cm2.
    Y la de "dart" es 11,76 · 6,18 / 2 = 36,3 cm2.

    Nina hizo sus cálculos sin utilizar la Trigonometría... Completa y detalla los cálculos de Nina (con o sin la Trigonometría). 

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. La diagonal menor de "dart" es 1–Φ = 0,618dm = 6,18cm. La diagonal mayor de "dart" y "kite" es 2·sen36º = 1,176dm = 11,76cm.

    Yoyó Peluso ha hecho bien los cálculos... A todo esto, en los textos en español "kite" recibe a veces el nombre de cometa o papalote y "dart" el de dardo o flecha... ¡A veces es difícil ponerse de acuerdo en las dos orillas del charco!

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