712. Mates en 3D. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas solía ensimismarse. En clase decían que estaba en la cuarta dimensión. Yo no sé si la cuarta, pero la tercera dimensión sí la tenía siempre muy presente...

    El día que expliqué el triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton (a la izquierda), Pepe hizo una versión tridimensional, es decir, se ingenió un tetraedro para el desarrollo de las potencias de un trinomio (a la derecha):

  Así, por ejemplo, (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc, como ilustró de la siguiente manera:

    Fíjate cómo confeccionó el tetraedro (se necesita algo de visión espacial) o busca información en Internet.
    Después, escribe la siguiente planta del tetraedro de Pepe y desarrolla  (a+b+c)³   y  (a+b+c)⁴ .

SOLUCIÓN

    Aquí os dejo las soluciones de Nina Guindilla...

    En el tetraedro de Pepe (o de Pascal), que es la versión tridimensional del triángulo de Tartaglia (o de Pascal), los números también se obtienen sumando los que tiene justo encima (puede haber 1, 2 o 3). La siguiente planta sería: 

    De los desarrollos solo escribo el primero porque el segundo es muy largo...

    (a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc.

    Escribe tú el desarrollo de (a+b+c)⁴.

RESOLUCIÓN

    Aquí os dejo la resolución de Yoyó Peluso:

    Vamos a por el desarrollo que falta...

(a+b+c)⁴ =

= a⁴ + b⁴ + c⁴ + 4a³b + 4ab³ + 4a³c + 4ac³ + 4b³c + 4bc³ +

+ 6a²b² + 6a²c² + 6b²c² + 12a²bc + 12ab²c + 12abc².

605. Suma de cubos...

    Había propuesto un reto de fin de semana que consistía en hacer la demostración de la siguiente igualdad: (1+2+3+4+5+...+n)² = 1³+2³+3³+4³+5³+...+n³. Pepe Chapuzas se valió del siguiente dibujo:

    Profe, mire. Para (1+2+3+4+5)² = 1·1²+2·2²+3·3²+4·4²+5·5² = 1³+2³+3³+4³+5³. ¿Vale esto como demostración?

    No se lo admití como demostración, claro. ¿Puedes hacer tú una demostración en condiciones?

711. El cuadrilátero olvidado. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le encantan las ilustraciones de los libros. Yo creo que tiene memoria fotográfica porque en menos de un minuto se aprendió la clasificación de los cuadriláteros:

33

    Profe, en la página 33 tenemos, arriba los paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide; y abajo: el trapecio isósceles, el trapecio escaleno, el trapecio rectángulo y, el más feo de todos, el trapezoide. Pero profe, ¡qué chapuza de clasificación!, ¿dónde está mi cometa?

    Le respondí que su cometa era un trapezoide..., y al ver su cara de disgusto añadí que era un trapezoide muy especial: con simetría respecto de una diagonal...; que era tan especial que hasta tenía nombre: era un deltoide...; que para calcular su área servía la fórmula del rombo: A=D·d/2 ..; y que si no estaba en la página 33 sería por puro olvido... No se si quedó satisfecho con mis excusas.

    Al cabo de los años, ya en Bachillerato, propuse el siguiente problema:

    Investiga cuánto miden los ángulos de las teselas de Penrose denominadas "kite" y "dart" y calcula sus áreas sabiendo que los lados mayores miden 10cm. Observa las figuras.

    Pude comprobar la buena memoria de Pepe porque exclamó: ¡Profe, si son deltoides!

    Resuelve también tú el problema. Espero tus comentarios.

    Si quieres saber más sobre cuadriláteros pincha en el siguiente enlace:

Cuadriláteros cíclicos

    Hasta pronto.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla buscó y encontró los ángulos de las teselas de Penrose:

    Profe, esos ángulos los había visto antes en algún sitio: ¡en el pentágono regular con sus diagonales!

    De hecho, si se fija uno un poco... ¡Ahí estaban "kite" y "dart"!

    Y también estaba la razón áurea...

    Así que era muy fácil calcular las diagonales de los deltoides de Penrose:

    Por lo tanto el área de "kite" es 11,76 · 10 / 2 = 58,8 cm².
    Y la de "dart" es 11,76 · 6,18 / 2 = 36,3 cm².

    Nina hizo sus cálculos sin utilizar la Trigonometría... Completa y detalla los cálculos de Nina (con o sin la Trigonometría). 

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. La diagonal menor de "dart" es 1–Φ = 0,618dm = 6,18cm. La diagonal mayor de "dart" y "kite" es 2·sen36º = 1,176dm = 11,76cm.

    Yoyó Peluso ha hecho bien los cálculos... A todo esto, en los textos en español "kite" recibe a veces el nombre de cometa o papalote y "dart" el de dardo o flecha... ¡A veces es difícil ponerse de acuerdo en las dos orillas del charco!

710. Un planeta redondo. RESOLUCIÓN

    Las instrucciones del proyecto eran claras, había que diseñar un edificio facilito: un ortoedro perfecto. Las fachadas opuestas, perfectamente paralelas y perfectamente verticales. El suelo y el techo, perfectamente planos y perfectamente horizontales. Y por supuesto todos los ángulos perfectamente rectos, de 90º exactos...
    Pepe Chapuzas (no podía ser otro) empezó a encontrar dificultades:

    Profe, yo hago las cosas verticales con la plomada, porque la plomada apunta siempre al centro de la tierra. Como dos rectas verticales no son paralelas (porque se cortan en el centro de la tierra), si hago las fachadas verticales, las opuestas no me salen paralelas; y si las hago paralelas, no me salen verticales...
    Además, yo hago las cosas horizontales con el nivel, o sea, perpendiculares a las verticales.
Como las verticales no son paralelas, las horizontales no son rectas, se curvan... Si hago el suelo plano, no me sale horizontal; y si lo hago horizontal, no me sale plano... ¡Vaya chapuza de edificio!

    Pepe lo tenía muy claro. Sin embargo yo, a veces, me olvido de que nuestro planeta es redondo... (De hecho, debido a la rotación terrestre, ni siquiera las verticales son rectas)... Tuve que cambiar el proyecto:

    Había que diseñar un túnel facilito. El punto de entrada era una bajada de 30º respecto de la horizontal, y el de salida era una subida también de 30º respecto de la horizontal. La dirección (y el sentido) era perfectamente norte-sur y el túnel era perfectamente recto. Si la entrada estaba en Varsovia, ¿dónde estaba la salida?

    Todos los alumnos objetaron que, si para recorrer el túnel primero se bajaba y luego se subía, el túnel no podía ser recto. Todos... menos Pepe, que ya le estaba dando vueltas a la bola del mundo...

    Ayuda a Pepe a encontrar la salida del túnel.

SOLUCIÓN

    Para Nina Guindilla, su camarada Pepe es el chico más exagerado del mundo... En fin, también Nina le empezó a dar vueltas a la bola del mundo...

    Profe, mire. La salida del túnel tiene que estar en el mismo meridiano que Varsovia y como el dato de 30º es un ángulo semiinscrito en el meridano, la salida del túnel estaría 60º al sur de Varsovía.

    Así que primero busqué las coordenadas de Varsovia: 52º15' N - 21º E. Después calculé las coordenadas de la salida del túnel: 7º45' S - 21º E. Y finalmente busqué ese punto en un mapa: ¡Angola!

    Demuestra que si abarcan el mismo arco, el ángulo semiinscrito es la mitad del ángulo central...

RESOLUCIÓN     Veamos la demostración de Yoyó Peluso...

    Mire, profe. Si biseco el ángulo central, su ángulo mitad (naranja) es complementario del ángulo verde, que a su vez es complementario del ángulo semiinscrito (azul), por lo tanto, la mitad del ángulo central es igual al complementario del complementario del ángulo semiinscrito.

709. Combinatoria prohibida. RESOLUCIÓN

    Profe, ¿cuántos subconjuntos de 5 elementos hay en un conjunto 3 elementos?

    De nuevo era Pepe Chapuzas. Le dije que si solo había 3 elementos no podíamos coger 5.

    Entonces la respuesta es 0, ¿verdad?

    Le contesté afirmativamente. No sabía adónde quería llegar... Empezó a garabatear en su cuaderno...

    Mire, profe:

    Y para que la fracción se anule, tiene que ser  (–2)! = ± ∞  .

    Y lo mismo le pasaría a cualquier número negativo, es decir  (–n)! = ± ∞ .

    Ahora empezaba a entender por qué le llamábamos Pepe Chapuzas. Le comenté que sí había factoriales de números negativos, por ejemplo:

    Pepe creía que estaba bromeando..., ¡pero el resultado era cierto!
    ¿Podrías con este dato calcular  5,5! ?

    Si quieres saber más, busca información sobre la función gamma.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no tuvo ninguna dificultad en calcular 5,5!

    Profe, solo he tenido que utilizar varias veces la propiedad de los números factoriales que asegura que n! = n·(n–1)!

5,5! = 5,5 · 4,5 · 3,5 · 2,5 · 1,5 · 0,5 · √π = 287,885277815

    Pero como no estaba convencida de si lo que estaba haciendo era correcto he utilizado la calculadora de Google...

5.5! = 287.885277815      ¡Bingo!

    Calcula de la misma forma que Nina (–3,5)! y comprueba el resultado con la calculadora de Google.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso buscó información sobre la función gamma...

    Profe, mire. La función gamma es una generalización de los números factoriales (aunque está desfasada una unidad) porque Γ(n) = (n–1)! para todo número natural n. La gráfica de la función gamma es más o menos así:

    Por cierto... (–3,5)! = √π:(–0,5):(–1,5):(–2,5) = –0,94530872...

708. Tres dados sin pódium. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas colecciona pódiums. Tiene un pódium para sus tres mejores canicas, otro para sus tres mejores aviones de papel, otro para sus tres mejores peonzas... Además está convencido de que la relación "ser mejor" es transitiva. Es decir, como la canica azul es mejor que la canica roja y la canica roja es mejor que la canica amarilla, entonces la canica azul es mejor que la canica amarilla. Sus canicas tienen un orden indiscutible en el pódium...

    Un día le regalé tres dados "raros". El dado verde tenía los números 1-1-5-5-5-5, el dado naranja tenía los números 3-3-3-4-4-4, y el dado morado tenía los números 2-2-2-2-6-6. Pepe enseguida pensó en un pódium para sus nuevos dados, pero ¿cuál de los dados sería el mejor? Se imaginó competiciones entre dados, y calculó con la regla de Laplace las probabilidades de ganar de cada uno:

    Profe, mire los diagramas.

    La probabilidad de que el verde gane al naranja es 24:36 = 0,666...

    Y la probabilidad de que el naranja gane al morado es también 24:36 = 0,666...

    Está claro. El verde es mucho mejor que el naranja y el naranja mucho mejor que el morado.

    Ya sé cómo me va a quedar el pódium:

    ¿O no estaba tan claro? Porque al final... ¡Pepe me devolvió los dados! ¡Y parecía estar enfadado!

    Calcula las probabilidades que faltan (VERDE contra MORADO) y dime por qué se enfadó Pepe.

DEBATE:
    Busca 8 relaciones del estilo "ser amigo", "ser mayor", "ser vecino", "ser hijo", etc. y argumenta si son o no son transitivas.  ¿O no estaba tan claro? Porque al final... ¡Pepe me devolvió los dados! ¡Y parecía estar enfadado!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo el diagrama VERDE contra MORADO y entendió enseguida el enfado de su hermano...

    ¡Profe! ¡La probabilidad de que el morado gane al verde es 20:36 = 0,555...! ¡El morado es mejor que el verde! ¡Paradójicamente, "ser mejor" no es una relación transitiva con estos dados!

    Si Pepe se enfadó, Nina se puso muy contenta porque se inventó un juego para dos personas... El juego de los dados locos... Le diría a su contrincante que eligiera un dado y que lo lanzara primero... y ella tiraría otro después... ¡Siempre podría elegir uno mejor que el de su contrincante! Era como jugar a "piedra, papel o tijera" haciendo trampas. (Unas trampas camufladas con la probabilidad.)

    Inventa un juego de dados semejante al de Nina, pero con más de tres dados, con el que siempre tengas mayor probabilidad de ganar que tu contrincante...

    De las relaciones para el debate que comentó Nina solo expongo las siguientes:

    "Ser amigo" no es transitiva porque yo soy amiga de Bea y Bea es amiga de Lupe, pero Lupe y yo no nos podemos ni ver...
    "Ser mayor" sí es transitiva porque si A>B y B>C, entonces A>C.
    "Ser vecino" sí es transitiva porque si A vive en el mimo bloque que B y B vive en el mismo bloque que C, entonces A vive en el mismo bloque que C.
    "Ser hijo" no es transitiva porque yo soy hija de mi madre y mi madre es hija de mi abuela, y yo no soy hija de mi abuela. ¡Soy su nieta favorita!
    "Ser potencia" sí es transitiva porque si A es potencia de B (A=Bⁿ) y B es potencia de C (B=C^m), entonces A es potencia de C (A=C^m·n).
    "Ser opuesto" no es transitiva porque –7 es opuesto de 7 y 7 es opuesto de –7, sin embargo –7 no es opuesto de –7.

    Te toca inventarte más relaciones...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso propuso como relación "ser sinónimo". Los compañeros se dejaron llevar por la intuición, que no es siempre buena consejera como hemos aprendido...

    Mire, profe. Cogí el diccionario de sinónimos, y encontré que "desusado" era sinónimo de "viejo" y que "viejo" era sinónimo de "usado". ¡Pero "desusado" no es un sinónimo de "usado" precisamente! 

707. El método de los zapatos. RESOLUCIÓN

    Profe, ¿hay que decir el método que se utiliza?

    Era Pepe Chapuzas en medio de un examen. Le dije que sí, suponiendo que se refería a los métodos de reducción, sustitución o igualación. Lo que no me imaginaba es que no iba a plantear ningún sistema de ecuaciones...

PROBLEMA:
    En un corral de conejos y gallinas hay 62 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos animales de cada clase hay?

RESPUESTA DE PEPE CHAPUZAS:
    Voy a resolverlo por el método de los zapatos:
    Compro un par de zapatos a cada animal.
    En total son  62 · 2 = 124  patas con zapatos.
    Las patas sin zapatos,  168 – 124 = 44 , son manitas de conejo.
    Por lo tanto hay  44 : 2 = 22  conejos.
    Y el resto de animales,  62 – 22 = 40 , son gallinas.

    Pepe nunca dejará de asombrarme...

    Resuelve el siguiente problema con el "método de los zapatos":

PROBLEMA:
    En un árbol hueco se esconden hormigas y arañas. Si en total hay 45 bichos y 294 patas, ¿cuántas hormigas y cuántas arañas hay?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla le ha encantado el método de los zapatos. Es una forma intuitiva de abordar el método de reducción (que es el menos intuitivo de los métodos para resolver un sistema)...

    Profe, mire. A cada bichito le compro 6 zapatitos. Compro por tanto 45 · 6 = 270 zapatitos...
    Como las hormigas tienen 6 patitas y las arañas tienen 8 patitas, las patitas que quedan sin calzar son 294 – 270 = 24, y son patitas (manitas) de araña...
    Por lo tanto hay 24 : 2 = 12 arañas...
    Y 45 – 12 = 33 hormigas.

    Inventa un problema para plantear un sistema y resuélvelo de forma intuitiva. (Que no sea de animalitos ni de patitas ni de zapatitos.)

RESOLUCIÓN

    Aquí dejo el problema de Yoyó Peluso...

PROBLEMA:
    En una fábrica de zumo se mezclan zumos de dos calidades, una de 0,5€/l y otra de0,8€/l. Con 75€ se han conseguido 120l de zumo. ¿Qué cantidad de zumo de cada calidad se ha mezclado?

RESPUESTA:
    Si se pagara un adelanto de 0,5€/l, habría que pagar 0,5·120 = 60€. Los 75–60 = 15€ que faltarían por pagar corresponderían a los 0,8–0,5 = 0,3€/l qué cuesta más el zumo más caro. Por lo tanto se ha mezclado 15:0,3 = 50l del zumo más caro y 120–50 = 70l del zumo más barato. 

604. Ley matemática... (2ª parte)

    Ahora le tocaba el turno al teorema del coseno (o ley del coseno)... Pepe Chapuzas se ofreció voluntario para "explicar" en la pizarra una demostración..., pero la "demostración" consistió en un dibujo... Pepe no dijo ni media palabra...

    Explica el dibujo de Pepe.
    La "demostración" solo vale para ángulos agudos. ¿Cómo harías una "demostración" similar para un ángulo obtuso?

603. Ley matemática...

    Estaba explicando en Trigonometría el teorema del seno (también conocido como la ley de los senos) pero sin hacer ninguna demostración. Pepe Chapuzas tenía ganas de intervenir... Me preguntó si había que aprenderse la demostración que venía en el libro... y yo le contesté que tenía que aprenderse una demostración diferente a la del libro... Al día siguiente expuso:

LEY DE LOS SENOS

    La tangente significa la que tañe y la secante significa la que siega (ya sabemos por qué). Y el prefijo co- de coseno, cotangente y cosecante significa complementario. Así, el coseno es el seno del complementario, o sea, cos x = sen (90º–x)... Pero... ¿qué significa seno? ¿De dónde ha salido esta palabra? Pues... ni los expertos se aclaran. Unos dicen que es una abreviatura de semicuerda inscrita (del ángulo central doble)... y otros dicen que es una traducción errónea del árabe: se confundió "jiab" = bahía (en latín "sinus") con "jiba", palabra tomada del sánscrito "jya" = cuerda. Los que está claro es que los senos están relacionados con las cuerdas como se aprecia en el siguiente dibujo:

    Pepe no entendió lo que había que hacer... ¿O sí?
    Demuestra que en un triángulo inscrito en un círculo de diámetro 1, cada lado mide el seno del ángulo opuesto.
    Demuestra que esto es equivalente a la ley de los senos (teorema del seno).
    ¿Por qué la tangente es la que tañe y la secante es la que siega?

706. ¿Una chapuza musical? RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas investiga las Matemáticas que hay detrás de las cosas y a veces se lleva sorpresas...

    Profe, ayer en Música nos hablaron de los armónicos. Mire, si una cuerda vibra, por ejemplo en DO (primer armónico), la mitad de la cuerda vibra con frecuencia doble (segundo armónico), y resulta que es el siguiente DO. Y como entre los dos DOS hay una octava entera, la distancia es de 12 semitonos.

    Yo ya me estaba perdiendo pero él seguía...

    Y un tercio de la cuerda vibra con frecuencia triple (tercer armónico), y resulta que es el segundo SOL. O sea que ahora el intervalo es de 19 semitonos.

    Al verme confuso y aturdido me hizo un dibujo para que comprendiera:

    Conté los semitonos,  12 + 7 = 19 , y dejé que continuara...

    Como las frecuencias de las notas (de la escala cromática) están en progresión geométrica, me puse a calcular la razón de la progresión...

    Si lo hago con el primer armónico, tenemos frecuencia doble y 12 semitonos, por lo tanto:

    Si lo hago con el segundo armónico, tenemos frecuencia triple y 19 semitonos, así que:

    Como ve, algo no cuadra. ¿Qué "chapuza" es esta?

    ¿Se habrán afinado los instrumentos musicales siempre de la misma manera? Investiga en Internet y se lo aclaras a Pepe.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha investigado el asunto y quiere aclarar algo.

    Profe, mire. Cuando se tocan dos sonidos a la vez, unas veces suena bien y otras no. Todo depende de sus frecuencias... Suena bien si la razón de sus frecuencias es una fracción de números pequeños. Por ejemplo entre el primer armónico y el segundo da 2/1 (una octava), y entre el segundo y el tercero 3/2 (una quinta perfecta). El problema está en que es matemáticamente imposible que los números 1, 2 y 3 sean términos de una misma progresión geométrica, por lo que uno de los armónicos no podrá afinarse perfectamente. Actualmente, de forma estándar, se afina la octava y la quinta queda ligeramente desafinada (es el conocido como temperamento). Antiguamente se afinaban todas las octavas y el mayor número posible de quintas (las quintas desafinadas se denominaban quintas del lobo por lo mal que sonaban).

    Demuestra que los números 1, 2 y 3 no pueden ser términos de una misma progresión geométrica.
    La quinta perfecta da una razón de frecuencias de 3/2... ¿Qué razón da una quinta temperada? ¿Y una quinta del lobo?
    En alguna ocasión se afinan las quintas y las octavas quedan ligeramente desafinadas... ¿Cuál sería entonces la razón de la progresión de las frecuencias de la escala cromática?

SOLUCIÓN

    Yoyó Peluso no tenía oído para la Música... pero sí olfato para las Matemáticas. Pero como la Música y las Matemáticas nacieron y se criaron juntas...

    Mire, profe. Si 1, 2 y 3 fueran términos de una progresión geométrica de razón R (>1), entonces 2/1 = Rⁿ y 3/1 = R^m para dos naturales n y m. Por lo tanto 2^m = 3ⁿ, lo cual es absurdo porque un número par no puede ser igual a un número impar...
    En una quinta temperada la razón de frecuencias es 2^7/12 = 1,498307...  ¡Casi perfecta...!
    En las afinaciones antiguas, en una quinta perfecta había tres tonos y un semitono menor, o sea, 9/8 · 9/8 · 9/8 · 256/243 = 1,5 pero en la quinta del lobo había dos tonos y tres semitonos menores, o sea, 9/8 · 9/8 · 256/243 · 256/243 · 256/243 = 1.479811... ¡Realmente desafinada!
    Si se afina por quintas, la razón del semitono temperado sería R = 1,5^1/7 = 1,059634...

705. ¡¡Bienvenidos a la FAIN!! RESOLUCIÓN

    Profe, el tutor nos ha dicho que tenemos que organizar las tardes en tiempo de estudio y tiempo de ocio. Y tengo un serio problema: ¿dónde meto las Mates?

    Esa semana tocaba revisión de cuadernos y al hojear el de Pepe Chapuzas empecé a comprender su "serio problema". ¡Estaba lleno de actividades que no habíamos mandado! Más tarde me confesó que se las inventaba en su tiempo de "estudio-ocio". Aquí os copio un ejemplo:

    Los números invitados a la FAIN (Fiesta Anual Internacional de Números) no saben por qué han sido invitados. Tienen algo en común que tienen que descubrir. Este año parece fácil:

    ¿Puedes decir algunos números invitados a la FAIN y qué idiomas hablan? ¿Alguien sabe si hay algún 0 en la fiesta?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no ha encontrado ningún 0, pero sí un 1 catalán ("U"), un 2 noruego ("TO"), un 3 italiano ("TRE"), un 4 alemán ("VIER") y un 9 vasco ("BEDERATZI"). ¡Solo hay que contar el número de letras del nombre de cada número! Sigue buscando, seguro que en la fiesta hay más invitados...

RESOLUCIÓN

    El número favorito de Yoyó Peluso era el 7... Buscando y rebuscando encontró un elegante 7 mexicano que se expresaba perfectamente en náhuatl. Se llamaba "CHICOME" y no podía faltar a la FAIN.

704. Una trompeta para pintar. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le fascina el infinito. Le encanta jugar con él en arriesgadas piruetas. Un día se tropezó con una "paradoja":

    Profe, he calculado el área entre media rama de hipérbola y su asíntota (era el ejercicio 44 de la unidad) y me sale infinita. Si quisiera pintar esta superficie necesitaria infinita pintura, y saldría infinitamente caro, ¿verdad?



¡OJO! Las unidades están en decímetros

    Pero si giro este trozo de hipérbola alrededor de la asíntota tengo una especie de trompeta. Mire cuál sería su capacidad (problema 45):

    ¡Menos de 3,1416 litros! ¡En casa tengo una lata de 5 litros! ¿Podría pintar la superficie del principio si la meto en mi trompeta llena de pintura? ¡Sería superbarato!

    ¿Quién puede contestar a Pepe? ¿Quién descubrió la "trompeta para pintar" mucho antes que Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se podía imaginar una trompeta ilimitada... Si pudiera imaginársela la podría dibujar en su cuaderno... pero para esta trompeta... ¡necesitaría un papel ilimitado e ilimitado tiempo para poder dibujarla... además de una cantidad ilimitada de lapiceros! Además había más pegas...

   Profe, mire. La hipérbola se aproxima a su asíntota cada vez más, de modo que tarde o temprano las moléculas de pintura no cabrían por la parte estrecha de la trompeta. Así que solo se puede llenar de pintura una parte acotada de la trompeta... Por otro lado para pintar el área entre la hipérbola y su asíntota necesitaríamos una capa de pintura de un grosor de al menos una molécula de pintura, por lo que el área totalmente pintada (con infinita pintura) no cabría por la parte estrecha de la trompeta que es más delgada que una molécula de pintura... La paradoja no es tal. Lo que ocurre es que los límites son a veces incompatibles con el mundo real. ¡No podemos hacer que la materia tienda a 0 (no podemos adelgazar la pintura cuanto queramos)...! Por cierto, la trompeta para pintar la descubrió Torricelli.

    La lógica de Nina no tenía nada que reprochar... ¿O sí...? Puede haber áreas infinitas dentro de volúmenes finitos como puso de manifiesto Torricelli con su trompeta. No podemos olvidar que el área es una magnitud bidimensional y el volumen es una magnitud tridimensional...

    Si tienes alguna objeción a la solución de Nina no dudes en comentarla.
    Reescribe los cálculos del área y del volumen que hizo de Pepe con la notación habitual de los límites (con la abreviatura "lim").

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso controlaba bien las integrales impropias... Utilizar límites era, por decirlo así, ser un poquito menos infiel al rigor matemático... (que no es siempre  ser más fiel a la realidad).

    Profe, no entiendo tanto revuelo con la trompeta de Torricelli... Hay una "paradoja" similar pero más sencilla: El área de la superficie entre la función f(x) = 1/x²  y el eje de abscisas para x>1 mide 1 y sin embargo su perímetro es infinito...

703. Euler en entredicho. RESOLUCIÓN

    Para Pepe Chapuzas lo peor de las Matemáticas es que sean "tan dogmáticas". De hecho, siempre está intentando encontrar "fallos" a los grandes matemáticos. Un día me salta con esta:

    Profe, donde vivo no funciona "lo de Euler", lo de que CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 2. He probado con pirámides, prismas, el icosaedro, el dodecaedro, y hasta con mi balón de fútbol..., y funciona, pero con mi bloque de pisos mire lo que pasa (¡ojo!, la planta del edificio, que no se ve, es como el tejado):

    4 caras a la calle, 4 al patio, 4 arriba y otras 4 abajo, en total 16 caras.
    8 vértices arriba y otros 8 abajo, en total 16 vértices.
    12 aristas arriba, otras 12 abajo y 8 más verticales, en total 32 aristas.
    Así que tenemos CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 16 + 16 − 32 = 0.
    ¡Vaya Chapuza!¡No funciona!

    ¿Se equivocó Euler? Busca información en Internet y cuéntanoslo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo a clase dos poliedros de plastilina: uno tenía dos túneles y el otro tenía tres... He intentado dibujar el de dos túneles:

    Profe, mire. El bloque de pisos donde vivimos tiene un túnel: el patio... Yo creo que la fórmula de Euler solo vale para poliedros sin túneles... Aquí he traído un bloque con dos patios y otro con tres patios. He calculado CARAS + VÉRTICES – ARISTAS para ambos poliedros y me sale –2 y –4 respectivamente... Yo creo que a la fórmula de Euler le falta algo... ¿Qué le parece esta fórmula nueva?

CARAS + VÉRTICES – ARISTAS + 2 · TÚNELES = 2 

    A todo esto, cuando vi por primera vez la fórmula de Euler me dije... ¿Pero no quedamos que no se podían sumar peras con manzanas? ¿Y caras con vértices sí?

    ¿Funcionará la fórmula de Nina para poliedros con muchos túneles?

    Si quieres saber más sobre de este asunto, investiga acerca de la llamada característica de Euler... y me cuentas lo que averigües.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso buscó en Internet información sobre la característica de Euler. Se denomina ji (no es de risa): χ = CARAS – VÉRTICES + ARISTAS, que en el caso de los poliedros con túneles equivale a 2 – 2·TÚNELES...

    Profe, χ es un invariante topológico, lo que quiere decir que, además de a poliedros, se puede aplicar a superficies curvas y elásticas (como el balón de Pepe)... Por ejemplo, para la superficie esférica χ = 2 como en los poliedros sin túneles. Y para la superficie de una rosquilla χ = 0 porque tiene un túnel... 

    Puse a prueba a Yoyó... Le pregunté si habría superficies cerradas con χ impar... Yoyó siguió investigando...

    ¡He encontrado en Internet una superficie para la que χ = 1! Esta superficie se puede conseguir pegando los bordes de un círculo y una banda de Möbius. (Obsérvese que la banda de Möbius tiene solamente un borde.)

    No se puede pegar estos bordes en nuestro espacio tridimensional pero sí se puede en un espacio de cuatro dimensiones... 

    Dejemos a Yoyó en su cuarta dimensión...

602. El teorema de la altura y otros teoremas...

    Profe, mire. El teorema de la altura viene a decir que las áreas azul y naranja son iguales, es decir h² = m·n.

    Pepe Chapuzas había ilustrado el teorema de la altura de un modo poco habitual. Había igualado un cuadrado con un rectángulo...
    Intenta igualar un cuadrado con un rectángulo para ilustrar el teorema del cateto...
    Intenta hacer lo mismo para el teorema de Pitágoras. (Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa, escribe el teorema así: a² = c² – b² = (c+b)(c–b).)
    Espero tu colaboración.

702. Ruffini para todo. RESOLUCIÓN

   Pepe Chapuzas no tiene solución, y si no, mirad cómo resolvió el siguiente límite:

    El resto no lo entendí, así que, por supuesto, tuvo que explicármelo:

    Profe, yo empecé sustituyendo las  x  por  − ∞ , luego hago las potencias, y me atranqué porque me salía una indeterminación. Hasta que me acordé del teorema del resto, ese que dice que da igual sustituir las  x  por  a , que el resto de dividir entre  x – a , es decir "lo de Ruffini", ya sabe, y eso es lo que hice. Al final me salió  − ∞ .

    Me quedé perplejo. ¡Nunca había visto tamaña chapuza!
    ¿Funciona el método de Pepe para todos los polinomios, con   − ∞  y con  + ∞  ?
Intentad darme una explicación.

    En clase habéis utilizado la regla de Ruffini con el teorema del resto y en la factorización de polinomios. Pero hay más... En este enlace podrás ver otra aplicación de la regla de Ruffini:

                                                              Sistema Binario

    Hasta pronto.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. El método de Ruffini es equivalente al algoritmo de Horner (que hemos visto en Informática) para calcular el valor numérico de un polinomio. Y de esta manera desaparece la indeterminación "infinito menos infinito"...

    La explicación de Nina Guindilla me pareció tan satisfactoria como... escueta por decirlo de alguna manera...

    Explica el algoritmo de Horner y aclara por qué es equivalente a la regla de Ruffini.
    Si conoces otra forma de eliminar la indeterminación "infinito menos infinito" de los polinomios coméntala con ejemplos.
    Busca más aplicaciones de la regla de Ruffini y compártela con todos.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso sabía que el algoritmo de Horner era la mejor manera de programar un polinomio: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = (((ax+b)x+c)x+d)x+e. Era un bucle...

    Profe, mire. Es fácil demostrar que esto es equivalente a regla de Ruffini... Hasta valdría como demostración del teorema del resto...

    Aunque para resolver la indeterminación  ∞ − ∞  yo siempre lo hago así:

    De todos modos, ya sabemos..., el límite solo depende del término de mayor grado...

701. Divide y vencerás. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas era un alumno con la "rara" habilidad de hacer a veces difícil lo fácil. Aquí tenéis un ejemplo:

    En un examen de contenidos mínimos le propuse la siguiente división:


    Y esta fue la chapuza de respuesta:

    Le pedí explicaciones de lo que había hecho y esta fue su contestación:

    Profe, me equivoqué en la primera cifra, me quedé corto, pero seguí adelante:
    Tengo 15 que entre 3 tocan a 4, ahora 4 por 3 dan 12, y del 12 al 15 van 3.
    Bajo un 0 para sacar decimales, tengo 30 que entre 3 tocan a 9 porque solo puedo poner una cifra, ahora 9 por 3 dan 27, y del 27 al 30 van 3.
    Bajo otro 0, tengo otra vez 30 que entre 3 tocan otra vez a 9, y como ve me salió un número periódico...
    Pero bueno, "casi" acierto, ¿verdad? ¿Qué nota me va a poner?

    Lo único que le dije es que firmara el examen porque se le había olvidado.

    Si la división valía 1 punto del examen, ¿tú qué nota le pondrías? Razona la respuesta.

SOLUCIÓN

    Cuando Nina Guindilla vio lo que había hecho Pepe se rascó la cabeza... Me pidió que no fuera demasiado severo con él porque al fin y al cabo el resultado era "casi" correcto. Me entregó el siguiente escrito:

    Profe, la regla de la división que obliga que los restos tienen que ser menores que el divisor es demasiado "exigente"... Si relajamos la condición sustituyendo "menores" por "menores o iguales" se pueden obtener resultados "casi" correctos... Yo le pondría a Pepe "casi" la nota máxima: un 0,99999...

    Hice caso a Nina...

    Expón diversas maneras para convencer a Pepe y a Nina de que los "casis" sobran ya que 0,99999... = 1 y 4,99999... = 5. (Primero tienes que estar convencido tú de que son números iguales.)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso quiso convencer a todos los incrédulos de la siguiente manera:

    Profe, mire. Si calculo la fracción generatriz de 4,99999... = (49–4):9 = 45/9 = 5. ¡Son iguales!

    No quedó ahí la cosa... Todo esto estaba relacionado con la paradoja de la dicotomía de Zenón... Zenón tiró una piedra a un árbol que distaba un decámetro. Antes de dar al árbol, la piedra tiene que recorrer la mitad de la distancia (medio decámetro) y cuando lo haya hecho tiene que recorrer la mitad de lo que le queda (un cuarto de decámetro) y cuando lo haya hecho tiene que recorrer la mitad de lo que le queda (un octavo de decámetro) y así sucesivamente... Como este proceso es infinito, la piedra no llegaría nunca al árbol... Entonces intervino Yoyó:

    ¡Pero la piedra sí llega al árbol! O sea, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...  = 1. Profe, si escribo esa suma infinita en sistema binario (bits), tengo 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ... = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 0,11111... = 1. Esto es el equivalente binario de la cuestión inicial...

    Si Zenón levantara la cabeza...

601. El módulo del producto vectorial

    Había explicado cómo se calculaba el producto vectorial y había mandado un ejercicio sencillo... Solo había que calcular el módulo del producto vectorial de dos vectores u y v, es decir, la longitud de u x v.

    Los vectores eran u = (11, 10, 30) y v = (1'3, 2, 4). La única dificultad era que las coordenadas de u venían expresadas en decímetros y las de v en metros... Nina Guindilla prefería trabajar sin decimales y decidió trabajar con decímetros:
|(11, 10, 30)x(13, 20, 40)| = |(10·40–30·20, 30·13–11·40, 11·20–10·13)| = |(–200, –50, 90)| = √50600 = 224'94 decímetros.
    A Pepe Chapuzas no le gustaban los decímetros e hizo los cálculos en metros:
 |(1'1, 1, 3)x(1'3, 2, 4)| = |(1·4–3·2, 3·1'3–1'1·4, 1'1·2–1·1'3)| = |(–2, –0'5, 0'9)| = √5'06 = 2'2494 metros.
    En seguida se percataron de que algo no cuadraba... ya que 224'94 decímetros no eran 2'2494 metros... ¿Cuál era la longitud verdadera de u x v?
    Si alguien puede aclarar algo de este embrollo que eche una mano...