869. Parábolas para desorientados... RESOLUCIÓN

    Estábamos corrigiendo ejercicios de parábolas. En unos el eje de la parábola era vertical y en otros era horizontal. Esto supone siempre una dificultad añadida para alumnos "desorientados"... Pepe Chapuzas, que suele andar bastante "orientado", ha propuesto el siguiente reto...

    Una parábola con eje horizontal corta a otra parábola con eje vertical en 4 puntos. Demuestra que hay una circunferencia que pasa por esos 4 puntos.

    Pepe dice que lo ha resuelto tomando como ejes de coordenadas los ejes de las parábolas... y que ya no da más pistas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se orienta bastante bien... Tal como se han dibujado las parábolas, ha tomado positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda (como siempre) en el eje horizontal, pero positivo hacia abajo y negativo hacia arriba (cuidado) en el eje vertical...

    Mire, profe. Si p y q son los parámetros de las parábolas en cuestión, entonces sus ecuaciones serán P: y²–2px–m²=0 y Q: x²–2qy–n²=0 respectivamente. Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos E: x²+y²–2px–2qy–m²–n²=0 que es la ecuación de una circunferencia de centro C(p,q) y radio R=(p²+q²+m²+n²)^1/2. Los puntos de intersección de las dos parábolas satisfacen las ecuaciones P y Q y por lo tanto también E, es decir, son todos de la circunferencia...

    ¿Qué significado geométrico tienen m y n?
    ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de las dos parábolas?

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Si x=0 en P, tenemos y=±m, esto es, (0,m) y (0,–m) son los puntos de corte de la parábola P con el eje de Q. De forma análoga, si y=0 en Q, entonces x=±n, esto es, (n,0) y (–n,0) son los puntos de corte de la parábola Q con el eje de P.
    Si y=0 en P, tenemos x=–m/2/p y el vértice de la parábola P es (–m/2/p,0). Análogamente, el vértice de Q es (0,–n/2/q).

    Yoyó Peluso tampoco anda "desorientado"...