861. Ortocentro fantasma. RESOLUCIÓN

    Cuando Pepe Chapuzas se pone a divagar... Así se explayó en la última clase:

    Profe, ¡mire cuántas chapuzas! En la Geometría del triángulo, con la palabra "altura" a veces nos referimos a una cantidad, es decir, al número que indica la distancia entre un vértice y el lado opuesto a partir de una unidad (metro, pie...), y otras veces con la palabra "altura" nos referimos a la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto... ¡Además las alturas ni siquiera tienen que ser verticales! ¿No cree que es un nombre muy confuso por no decir chapucero? 

    Y luego está lo del ortocentro, ya sabe, la intersección de las alturas... Yo pienso que algo que se denomina "centro" debería estar "dentro"... pero a veces el ortocentro cae "fuera" del triángulo... (Lo mismo le pasa al circuncentro). 
    Y para rematar la faena a la altura la llamamos h y al ortocentro H... Me dan ganas de escribir "haltura" y "hortocentro"... 
    Por cierto, ¿sabe lo que he descubierto? Le cuento. En casa tengo un tetraedro irregular y me puse a calcular sus "centros"... O sea, los puntos notables: el baricentro o centro de gravedad, el circuncentro o centro de la esfera circunscrita, el incentro o centro de la esfera inscrita y, finalmente, el ortocentro... Con los tres primeros no tuve problemas, pero con el último... Verá... Ahora, con el tetraedro, una altura es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la cara opuesta... Pues bien, tomé dos alturas de mi tetraedro y ¡no se cortaban! ¿Se da cuenta? ¡Mi tetraedro no tiene ortocentro!

    Dejemos a Pepe con sus elucubraciones...
    Elige cuatro puntos del espacio al azar. ¿Determinan un tetraedro? En caso afirmativo elige dos alturas (rectas). ¿Se cortan? ¿Cómo debe ser un tetraedro para que sus alturas se corten? Mándame tus cálculos y tus deducciones.

    SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla le sorprendió que no todos los tetraedros tuvieran ortocentro... Eligió los puntos A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0) y D(0, 1, 1) como vértices de un tetraedro que no tenía ortocentro...

    Profe, mire. Los cuatro puntos A, B, C y D determinan un tetraedro porque el producto mixto de los vectores A͢B, A͢C y A͢D es [A͢B, A͢C, A͢D] = 1.

    Además, la ecuación del plano ABC es z=0, con vector normal C͢D=(0, 0, 1) y la ecuación del plano ACD es x=0, con vector normal A͢B=(1, 0, 0), por lo que la altura que pasa por D y la altura que pasa por B no se cortan ya que el producto mixto [C͢D, A͢B, B͢D]=1.  

   ¡Ya tengo un ejemplo de un tetraedro sin ortocentro! He encontrado en Internet que un tetraedro con ortocentro se denomina ortocéntrico (originalidad no les falta a los matemáticos)... Y que un tetraedro es ortocéntrico si y solo si sus aristas opuestas son perpendiculares.

    Esto último se indica así: A͢B·C͢D = A͢C·B͢D = A͢D·B͢C = 0. ¿Te atreves a demostrar que esto es equivalente a A͢B²+C͢D² = A͢C²+B͢D² = A͢D²+B͢C²? 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso indagó sobre tetraedros ortocéntricos. Leyó que, en estos tetraedros, los pies de las cuatro alturas (proyecciones perpendiculares de los vértices sobre las caras opuestas) son los ortocentros de las cuatro caras del tetraedro. También, que un plano que contiene a una arista (por ejemplo AB) y pasa por el punto medio de la arista opuesta (CD), es perpendicular a esta y pasa por dos ortocentros de caras (las proyecciones de A y de B). También, que estos seis planos tienen en común un punto: el ortocentro del tetraedro... Y que con toda esta información se deducía fácilmente que las aristas opuestas eran perpendiculares...

    Mire, profe. Los puntos medios de las aristas del tetraedro son vértices de cuadriláteros (rojo y naranja) que tienen los lados opuestos paralelos (a aristas) y ángulos rectos (ya que las aristas opuestas son perpendiculares), por lo que estos cuadriláteros son rectángulos con una diagonal (rosa) común. Basta aplicar el teorema de Pitágoras teniendo en cuenta que los lados de los rectángulos son medias aristas: (A͢C/2)²+(B͢D/2)² = (A͢D/2)²+(B͢C/2)², o sea, A͢C²+B͢D² = A͢D²+B͢C² (= A͢B²+C͢D² análogamente). El punto medio de la diagonal es el ortocentro del tetraedro...

    Al estilo de Yoyó le falta refinamiento, y solo está demostrada la parte (==>) de la equivalencia. Veamos cómo aborda Yoyó la parte (<==).

    Profe, mire. La diagonal rosa es común a los dos paralelogramos (rojo y naranja) por lo que A͢C/2+B͢D/2 = A͢D/2+B͢C/2, y por lo tanto tenemos que A͢C+B͢D = A͢D+B͢C y de forma análoga A͢B+C͢D = A͢D–B͢C y A͢B–C͢D = A͢C–B͢D. Tenemos la siguiente cadena de igualdades:

2·A͢B·C͢D = (A͢B+C͢D)²–A͢B²–C͢D² = (A͢D–B͢C)²–A͢D²–B͢C² = 

= –2·A͢D·B͢C = –(A͢D+B͢C)²+A͢D²+B͢C² = –(A͢C+B͢D)²+A͢C²+B͢D²  = 

= –2·A͢C·B͢D = (A͢C–B͢D)²–A͢D²–B͢C² = (A͢B–C͢D)²–A͢B²–C͢D² = –2·A͢B·C͢D.

    De donde se tiene que A͢B·C͢D= 0 y análogamente A͢C·B͢D = 0 y A͢D·B͢C = 0.