293. La elipse del jardinero

    Estábamos en el patio trazando una elipse con el método del jardinero... Habíamos clavado dos estacas en el suelo y atado a ellas los extremos de una cuerda. (La longitud de la cuerda era mayor que la distancia entre las estacas.) Y deslizábamos una tercera estaca a lo largo de la cuerda en tensión realizando un surco en el suelo: la elipse. En un cierto momento de este proceso Pepe Chapuzas gritó:

    ¡Alto! ¡La cuerda forma aquí un ángulo recto!

    Cuatro veces detuvo Pepe el trazado de la elipse para comentar lo mismo... Y debió de darle vueltas al asunto porque al regresar a clase insistió en ello:

    Profe, no en todas las elipses la cuerda tensada puede formar ángulos rectos, ¿verdad? Yo creo que esto depende de su excentricidad...

    Dejo que lo penséis. Contadme lo que averigüéis...

284. La esfera de Dandelin

    Para explicar las secciones cónicas dibujé en la pizarra lo mejor que pude un cono recto que pretendía cortar con planos oblicuos. La primera sección cónica que obtuve fue la elipse. Pepe Chapuzas, que ya había visto la elipse en clase de Dibujo, saltó:

    Profe, lo que ha dibujado parece un cucurucho de barquillo... ¡Solo le falta el helado!

    Entonces dibujé, como si fuera una bola de helado, una esfera de Dandelin: una esfera encajada en el cono y tangente al plano oblicuo... No sé que tipo de visión espacial tiene Pepe pero su pregunta me pilló de sorpresa...

    Profe... ¿No caerá el punto de tangencia entre la esfera y el plano en un foco de la elipse, por un casual?

    Demuestra que, efectivamente, el punto de tangencia es uno de los focos de la elipse...
   

208. Unas parábolas peleonas

    Profe, mire. En el autobús que he tomado esta mañana había dos parábolas discutiendo. La escena la he representado en esta viñeta.

   Me pregunto cuál de las dos parábolas tendrá razón... ¿Cuál de las dos tendrá mayor excentricidad?

    Fácil, ¿verdad? ¿Quién quiere responder a Pepe Chapuzas?

169. Parábolas para desorientados

    Estábamos corrigiendo ejercicios de parábolas. En unos el eje de la parábola era vertical y en otros era horizontal. Esto supone siempre una dificultad añadida para alumnos "desorientados"... Pepe Chapuzas, que suele andar bastante "orientado" ha propuesto el siguiente reto...

    Una parábola con eje vertical corta a otra parábola con eje horizontal en 4 puntos. Demuestra que hay una circunferencia que pasa por esos 4 puntos.

    Pepe dice que lo ha resuelto tomando como ejes de coordenadas los ejes de las parábolas... y que ya no da más pistas...

167. Parábolas en la vida

    Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos de parábolas en sus vidas y las respuestas fueron las de siempre: trayectorias de balones de fútbol, chorros de agua en las fuentes..., incluso las antenas parabólicas fueron mencionadas. Para Pepe Chapuzas las Matemáticas forman parte de su vida por lo que su respuesta fue muy diferente: las parábolas de Apolonio, las parábolas de Arquímedes... Aprovechando la respuesta de Pepe propuse como tarea de casa que demostraran el siguiente resultado de Arquímedes...
    "Si s y t son dos rectas paralelas, s secante a una parábola en los puntos A y B, y t tangente a la parábola en el punto C, entonces el área del triángulo ABC es 3/4 del área encerrada entre la parábola y la recta secante".

    Se suponía que tenían que utilizar la integral definida y la regla de Barrow para resolver el ejercicio pero Pepe mostró cómo lo había descubierto Arquímedes...

    Investiga y resuelve el ejercicio de las dos maneras.

114. Las pelotas saltarinas.

    A alguien se le escapó una pelota saltarina en clase. Como curiosamente no era de nadie, quedó confiscada... Entonces propuse un ejercicio y comenté que el primero en resolverlo se quedaría con la pelota saltarina. Dicté el enunciado para que los chicos lo copiaran en sus cuadernos...

    El centro de gravedad de una pelota saltarina recorre una trayectoria parabólica. La parábola pasa por los puntos (–6,0), (0,18) y (6,0). En el punto (0,9) se encuentra el centro de gravedad de otra pelota saltarina misteriosamente inmóvil. ¿Cuál es la distancia mínima que hubo entre las pelotas saltarinas si ambas tienen de diámetro 1? (Todas las cantidades están expresadas en centímetros.)

    Fue Pepe Chapuzas el que rescató la pelota. ¿La podrías haber rescatado tú?

102. La intuición de Pepe Chapuzas

    Habíamos dibujado en la pizarra las hipérbolas equiláteras xy = ±1 y fue fácil calcular el área del círculo tangente a las cuatro ramas de hipérbola. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con la siguiente cuestión:

    Profe, intuyo que todas las elipses tangentes a las cuatro ramas de hipérbola tienen la misma área. ¿Me equivoco?

    ¡Bravo por la intuición de Pepe! Demuestra que estaba en lo cierto.

100. ¡Vaya par de hipérbolas!

    Aquí tenemos otro dibujo del cuaderno de Pepe Chapuzas con su correspondiente cuestión...

    Sean dos hipérbolas que comparten sus asíntotas de modo que las asíntotas separan a las hipérbolas. (Esta disposición no implica que sean hipérbolas conjugadas). Y sean E y F sus excentricidades... Demuestra que  E ² + F ² = E ² F ² .

72. El club de los excéntricos

    Llegaron unos cuantos alumnos, incluido Pepe Chapuzas, con una chapa en la solapa... Preguntados sobre el novedoso ornato, Pepe me aclaró que era el emblema del club de los excéntricos...

 

    Profe, mire. Para entrar en el club solo hay que resolver tres cuestiones relacionadas con el emblema...

    Como ve, se trata de dos elipses semejantes y por ello tienen la misma excentricidad. El eje mayor de la elipse menor es el eje menor de la elipse mayor... Y las tres regiones (roja, amarilla y verde) tienen la misma área...

    Primera cuestión: ¿Cuál es la excentricidad de las elipses?

    Segunda cuestión: Calcula los ángulos del rombo cuyos vértices son los focos de las elipses.

    Tercera cuestión: Demuestra que toda cuerda horizontal de la elipse mayor es partida en tres segmentos iguales por la elipse menor.

 

    ¿Quieres pertenecer al club? ¡A ver si lo consigues...!