1643. Una cuerda normal

    Mire, profe. En una parábola consideremos una cuerda PQ normal en el punto P. Ubíquese P para que la longitud de PQ sea mínima.

    Pepe Chapuza enunció este problema de optimización. Intenta resolverlo...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Como todas las parábolas son semejantes entre sí, voy a resolver este problema para la parábola más sencilla: P(y², y) con y∈ℝ .

    Nina Guindilla sabía cómo simplificar desde el principio...

    Mire, profe. En un punto P de la parábola un vector tangente es u = (2y, 1) y podemos obtener la normal correspondiente: Q(x, y−2y(x−y²)) ≡ Q(x, y−2yx+2y³) con x∈ℝ . Así, el extremo de la cuerda cumple (teniendo en cuenta que para y = 0 no hay cuerda)...

x = (y−2yx+2y³)² = y²+4y²x²+4y⁴−4y²x+4y⁴−8y⁴x

4y²x² + (−8y⁴−4y²−1)x + (4y⁶+4y⁴+y²) = 0

    Dividiendo entre x−y²  

4y²x −4y⁴−4y²−1 = 0
x = (4y⁴+4y²+1) / (4y²) = (2y²+1)² / (2y)² = (y+0.5/y)²
Q((y+0.5/y)², −(y+0.5/y)) ≡ Q(y²+1+0.25/y², −y−0.5/y)

    

    El cuadrado de la longitud de la cuerda es

 
|PQ|²  = (1+0.25/y²)² + (−2y−0.5/y)² = 0.0625/x⁴ + 0.75/y² + 3 + 4y²

 

    Anulando su derivada...

− 0.25/y⁵ − 1.5/y³ + 8y = 0

...multiplicando por −4/y...

1/y⁶ + 6/y⁴ − 32 = 0

...y con el cambio y = 1/√z...

z³ + 6z² − 32 = 0

    Como z = 1/y² no puede ser −4 ha de ser 2, así que y = ±√0.5, de donde P(0.5, ±√0.5).

 

    Faltaba comprobar que era la cuerda normal más corta...

RESOLUCIÓN 

    Yoyó Gaviota derivó la derivada...

    Mire, profe. La segunda derivada del cuadrado de la longitud de la cuerda es positiva...

1.25/y⁶ + 4.5/y⁴ + 8 > 0