1645. De noveno grado

     Pepe Chapuza me habló de un polinomio 9.º grado. Dejo que os lo cuente él mismo...

    Mire, profe. Sea P un polinomio de grado 9 tal que para los 10 primeros números naturales, n, se cumple que P(n) = 1/n. Calcule P(11).

    La intuición le sopló a alguno que sería 1/11, pero la intuición no es siempre una confidente fiable...¿Quiere contarme alguien algo acerca de este larguísimo polinomio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se puso a calcular los coeficientes de P, por supuesto...

    Profe, mire. Para cada número n natural con 1≤n≤10 se tiene que n·P(n) − 1 = 0, por lo tanto n es una raíz del polinomio x·P(x) − 1... que tendrá por ende grado 10 y 10 raíces...

x·P(x)−1 = k·(x−1)·(x−2)·...·(x−10)

    Para x = 0, se tiene que −1 = k·10!, de donde k = −1/10!. Así pues, para x = 11...

    11·P(11) − 1 = −1/10!·10! = −1
P(11) = 0

    ¡Hemos encontrado una raíz de P!

    ¿Cuánto vale P(−1), P(12) y P(0)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo los calculitos...

    Profe, mire..

−1·P(−1) − 1 = −1/10! · 11! = −11  y  P(−1) = 10

12·P(12) − 1 = −1/10! · 11! = −11  y  P(12) = −10/12 = −5/6

    Pero para x=0 este procedimiento no sirve. P(0) es el coeficiente del término de primer grado de x·P(x), es decir... 

−1/10!·(−10!/1−10!/2−...−10!/10) = 1+1/2+...+1/10 = 7381 / 2520