1644. El teorema del incentro

    Profe, mire. Sea a, b y c los lados opuestos de los vértices A, B y C de un triángulo. Sea D la intersección de la bisectriz de ∡ A con el lado a. Y sean d y d' las distancias del incentro del triángulo a A y a D respectivamente. Entonces, d/d' = (b+c)/a.

    Pepe Chapuza había enunciado el famoso teorema del incentro. Se necesitaba una demostración...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trazó las bisectrices de ∡ B y de ∡ C...

    Profe, mire. Podemos aplicar el teorema de la bisectriz en los triángulos ABD y ACD...

c/d = m/d'

b/d = n/d'

y sumando las igualdades

c/d + b/d = m/d' + n/d'

(c+b)/d = (m+n)/d' = a/d'

de donde se obtiene el resultado...

    Bonita demostración... ¿Conocéis algún otro resultado interesante con el incentro?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota trajo el siguiente:

    Profe mire. Si d, e y f son las distancias del incentro a A, B y C, respectivamente, entonces se tiene que def = 4Rr², donde R y r son el circunradio y el inradio del triángulo.