612. Fórmulas de adición.

    El orden de los sumandos no altera...

    No falla. Siempre cae alguno que responde "el producto"...  Esta vez fue Pepe Chapuzas, así que le mandé que escribiera en una tabla los nombres de las operaciones, los operandos y los resultados... Pepe escribió lo siguiente:

Operación	Operandos	Resultado
Adicción	Sumandos	Suma o total
Sustracción	Minuendo y sustraendo	Resta o diferencia
Multiplicación	Factores	Producto
División	Dividendo y divisor	Cociente
Potenciación	Base y exponente	Potencia
Radicación	Radicando e índice	Raíz

    Pepe seguía teniendo problemas con la suma: había puesto "adicción" en vez de "adición"... Además, en la tabla faltaba la séptima operación (Pepe se había olvidado de los logaritmos). ¿Quieres completar la tabla? ¿Por qué para la adición y la multiplicación hay un solo nombre para los operandos?
    Hablando de adición...  En Trigonometría habíamos visto las fórmulas del seno y del coseno de la suma de ángulos: sen(A+B) = senA·cosB+cosA·senB y cos(A+B) = cosA·cosB–senA·senB.

Pepe, para remedar sus errores, salió a la pizarra de nuevo para demostrar las identidades trigonométricas. ¿Quieres demostrarlas también tú?

611. Ángulos y peces

    Empecé el tema de ángulos intentando averiguar que nociones habían asimilado mis alumnos. En la pizarra dibuje 2 ángulos... y pregunté cuál de ellos era mayor... Para sorpresa mía hubo discrepancia de opiniones... (Reconozco cierta malicia en el dibujo.)

    Pepe Chapuzas salió a la pizarra para terminar de arreglarlo...

    El pez grande (ángulo pequeño) se come al pez pequeño (ángulo grande).

    En fin, ya serios pregunté a Pepe si recordaba la demostración de que en un círculo, un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco...

    ¿Recuerdas tú la demostración?

606. Arte de brujería

    Estábamos viendo la simetría rotacional... Mostré conjuntos que eran idénticos a los que se obtenían rotándolos un cierto ángulo propio (mayor que 0º y menor que 360º). Como la estrella de cinco puntas... que girada 72º alrededor de su centro, se quedaba igualita que estaba...

    Al día siguiente vino Pepe Chapuzas con una de sus brujerías...

    Mire, profe. Imagínese el conjunto de puntos {(cos n, sen n)}, esto es, los puntos de la circunferencia unidad cuyos argumentos en radianes son números naturales n (n=1,2,3,...).

    En esta sucesión de puntos no hay dos coincidentes (es inyectiva) y hay puntos de la circunferencia unidad que no pertenecen a la sucesión (no es suprayectiva)... Ahora giremos este conjunto de puntos, con centro de giro el origen (0, 0) y ángulo de giro α = 31416 – 10000·π radianes. Este ángulo α es pequeñito (aproximadamente 4º12'33")... pero matón... Mire, al rotar, el punto que se hallaba en (cos n, sen n) se situará en (cos(n+α), sen(n+α))... Calulemos:

(cos(n+α), sen(n+α)) =

= (cos(n+31416–10000·π), sen(n+31416–10000·π)) =

= (cos(n+31416), sen(n+31416)).

    O sea, al girar, el conjunto {(cos n, sen n)} se convierte en {(cos(n+31416), sen(n+31416))}...
¿Se da cuenta?, ¡con el minúsculo giro desaparecen 31416 puntos del conjunto (los 31416 primeros puntos de la sucesión)! ¡Esto es arte de brujería!.

    ¡Cuando Pepe Chapuzas hace de brujo...!
    Comprueba que el punto (0, 1) no pertenece a la sucesión.
    Comprueba que no hay dos puntos coincidentes en la sucesión.

604. Ley matemática... (2ª parte)

    Ahora le tocaba el turno al teorema del coseno (o ley del coseno)... Pepe Chapuzas se ofreció voluntario para "explicar" en la pizarra una demostración..., pero la "demostración" consistió en un dibujo... Pepe no dijo ni media palabra...

    Explica el dibujo de Pepe.
    La "demostración" solo vale para ángulos agudos. ¿Cómo harías una "demostración" similar para un ángulo obtuso?

603. Ley matemática...

    Estaba explicando en Trigonometría el teorema del seno (también conocido como la ley de los senos) pero sin hacer ninguna demostración. Pepe Chapuzas tenía ganas de intervenir... Me preguntó si había que aprenderse la demostración que venía en el libro... y yo le contesté que tenía que aprenderse una demostración diferente a la del libro... Al día siguiente expuso:

LEY DE LOS SENOS

    La tangente significa la que tañe y la secante significa la que siega (ya sabemos por qué). Y el prefijo co- de coseno, cotangente y cosecante significa complementario. Así, el coseno es el seno del complementario, o sea, cos x = sen (90º–x)... Pero... ¿qué significa seno? ¿De dónde ha salido esta palabra? Pues... ni los expertos se aclaran. Unos dicen que es una abreviatura de semicuerda inscrita (del ángulo central doble)... y otros dicen que es una traducción errónea del árabe: se confundió "jiab" = bahía (en latín "sinus") con "jiba", palabra tomada del sánscrito "jya" = cuerda. Los que está claro es que los senos están relacionados con las cuerdas como se aprecia en el siguiente dibujo:

    Pepe no entendió lo que había que hacer... ¿O sí?
    Demuestra que en un triángulo inscrito en un círculo de diámetro 1, cada lado mide el seno del ángulo opuesto.
    Demuestra que esto es equivalente a la ley de los senos (teorema del seno).
    ¿Por qué la tangente es la que tañe y la secante es la que siega?

293. La elipse del jardinero

    Estábamos en el patio trazando una elipse con el método del jardinero... Habíamos clavado dos estacas en el suelo y atado a ellas los extremos de una cuerda. (La longitud de la cuerda era mayor que la distancia entre las estacas.) Y deslizábamos una tercera estaca a lo largo de la cuerda en tensión realizando un surco en el suelo: la elipse. En un cierto momento de este proceso Pepe Chapuzas gritó:

    ¡Alto! ¡La cuerda forma aquí un ángulo recto!

    Cuatro veces detuvo Pepe el trazado de la elipse para comentar lo mismo... Y debió de darle vueltas al asunto porque al regresar a clase insistió en ello:

    Profe, no en todas las elipses la cuerda tensada puede formar ángulos rectos, ¿verdad? Yo creo que esto depende de su excentricidad...

    Dejo que lo penséis. Contadme lo que averigüéis...

240. Polígonos naturales, naturalmente...

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

236. Una extraña flor

    Pepe Chapuzas estaba dibujando una extraña flor en su cuaderno y le tuve que recordar que no estábamos en clase de Dibujo sino de Matemáticas. Rápidamente me comentó que era un dibujo para ilustrar el reto que iba a plantear a la clase para el fin de semana.

    Alrededor de un polígono irregular convexo de N lados (amarillo) se adosan N triángulos equiláteros (verdes) que determinan entre sí N ángulos (rojos). ¿Cuánto suman estos ángulos?

    Obtén una fórmula que dependa de N.

215. El reloj de QQ

    Profe, mire. Unos tíos míos hicieron un viaje por Alemania y me trajeron el típico reloj de cuco (un suvenir curiosamente fabricado en China). Al cuco del reloj lo llamé QQ porque no merecía un nombre más original... Era un cuco de plástico con los ojos saltones que se colaba en mis sueños conviertiéndolos en pesadillas... 
    En la pesadilla de anoche QQ me planteó con su acento chino el siguiente problema... "Ahola mismo las agujas del leloj folman un ángulo de un ladián. ¿Cuánto tiempo falta pala que vuelvan a folmal de nuevo un ángulo de un ladián?"
    No pude resolver el problema dormido, pero cuando me desperté ya sabía que había dos soluciones...

    Si estás bien despierto, resuélvele a Pepe Chapuzas la pesadilla del reloj de QQ. Y recuerda que hay dos soluciones.

168. Un tren de círculos

    Echa un vistazo a este reto de Pepe Chapuzas. Aunque quizá tengas que echarle varios vistazos...

    El círculo amarillo tiene un área de 5 centiáreas y el círculo morado tiene un área de 1 centiárea. ¿Cuánto mide el ángulo verde?

162. Segundos por segundo

    Alguien en clase sacó el tema del día sideral (o sidéreo)... ¡Qué casualidad!, era Pepe Chapuzas...

    Profe, mire. Los días se producen por la rotación de la Tierra, pero he leído que una rotación de 360º  se completa en 23 horas, 56 minutos y 4 segundos, es decir, un día sideral, y no un día del calendario (día solar) que dura 24 horas como sabemos... (Ello es debido al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol). ¿Qué ángulo (en grados, minutos y segundos) rota la tierra en 24 horas? Y si recordamos que la velocidad angular es el ángulo girado por unidad de tiempo,¿cuál sería la velocidad angular de la rotación terrestre expresada en segundos (ángulo) por segundo (tiempo)?

    Responde a Pepe. Además, calcula la velocidad (en metros por segundo) de un punto del ecuador a nivel del mar en su giro alrededor del eje de la Tierra.

156. Los rombos de Penrose

    Estábamos realizando un taller de mandalas y Pepe Chapuzas terminó el primero. Estaba claro que su mandala era una auténtica chapuza. Estaba formado por dos tipos de rombos. Al contarlos me percaté de que se trataba de rombos de Penrose... Para que Pepe no perdiera el tiempo le propuse que calculara el área de un rombo rojo y el área de un rombo amarillo. También terminó enseguida..., antes de que acabara la clase...

    ¿Cuánto miden los ángulos de los rombos de Penrose?
    ¿Cuánto miden las áreas de los rombos si los lados miden 4cm?

140. Las aspas del molino

    En el último reto que Pepe Chapuzas propuso a sus compañeros aparecían como unas aspas de molino de viento. ¡Cinco aspas chapuceras! El reto consistía en calcular la suma de todos los ángulos señalados en azul.

    Resuelve el reto y me mandas la solución y el razonamiento...

129. Estrellitas de 5 puntas

    Estábamos decorando el aula con estrellitas de 5 puntas porque se acercaba la Navidad. Las estrellitas eran irregulares por no decir chapuceras. Pepe Chapuzas hizo la siguiente observación...

    Profe, mire. Creo que la suma de los ángulos de las 5 puntas es igual para todas las estrellas...

    Comprueba que la observación de Pepe es correcta. ¿Cuánto suman los 5 ángulos?

128. Alfa, beta, gamma y delta

    En ningún cuaderno de Matemáticas de Pepe Chapuzas falta un alfabeto griego. Pepe lo utiliza con frecuencia como en el siguiente problema (que en realidad son tres) que se inventó, donde las letras griegas representan ángulos:

     Los 4 ángulos interiores,  a ,  b ,  g  y  d , de un cuadrilátero están en progresión geométrica y, expresados en grados, son números naturales. Calcula  a ,  b  y  d  sabiendo que  g  vale... 

    a) ... 81º.
    b) ... 90º.
    c) ... 96º.

    Calcula las soluciones "naturales". ¿Hay soluciones no "naturales"?

66. El calendario de las abejas

    Pepe Chapuzas llegó a clase con la cara hinchada. Explicó que se debía a la picadura de una abeja porque el fin de semana estuvo practicando apicultura en un colmenar. Pero a pesar del escozor que sentía en la cara estaba muy contento porque había aprendido muchas cosas. Por ejemplo, que la reina era la madre de todas las abejas del enjambre: de las obreras que lo hacían todo y de los zánganos que no hacían nada. O que en cada colmena había un panal que en realidad era un calendario perpetuo... Lo primero lo sabíamos todos pero lo segundo nos pilló de sorpresa. Pepe se congratuló en mostrárnoslo:

    Para las abejas los puntos cardinales no son 4 sino 6. ;-) Estos 6 puntos cardinales se podrían llamar chapuceramente E, NE, NO, O, SO y SE. Y digo chapuceramente porque en realidad se corresponden con los ángulos de 0º, 60º, 120º, 180º, 240º y 300º respectivamente.

    El calendario en sí consiste en un panal de 37 celdillas como se ve en el dibujo siguiente. Bueno, las letras las he puesto yo e indican los días de la semana como en los taxis: L, M, X, J, V, S y D. (Las abejas lo hacen con diferentes mieles). 

    Para saber qué día de la semana corresponde a una fecha determinada (día/mes/año) solo hay que avanzar tres celdillas (o dos, o una o ninguna) a partir de la celdilla central (el domingo central). Se avanza una celdilla (o ninguna) por el día, otra celdilla (o ninguna) por el mes, y otra celdilla (o ninguna) por el año. La dirección y el sentido de cada avance vienen determinados por las siguientes tablas teniendo en cuenta que para los que quedan en las casillas centrales no se realiza ningún avance.
    Hay dos tablas de años: una para el siglo XX y otra para el siglo XXI (las abejas no entran en polémicas sobre cuándo empiezan y terminan los siglos). Los años bisiestos aparecen en rojo y los demás en azul. Esto afecta a los avances de enero y de febrero, que por ello aparecen también en estos colores. Observad que 2000 fue bisiesto mientras que 1900 no lo fue.
  Por ejemplo, el día 1 de febrero de 2014 es sábado porque para el 1 avanzamos al NE, para febrero (azul) avanzamos al SE y para el 2014 (azul) avanzamos al E. Y no importa el orden NE-E-SE, E-SE-NE... Es como la suma de vectores, que es conmutativa...

    Pepe tiene abejas zumbonas en la cabeza...

    A ver si has entendido bien cómo funciona este calendario perpetuo. Busca el día de la semana en que el hombre pisó la luna por primera vez. Busca también el día de la semana en que naciste.