208. Unas parábolas peleonas

    Profe, mire. En el autobús que he tomado esta mañana había dos parábolas discutiendo. La escena la he representado en esta viñeta.

   Me pregunto cuál de las dos parábolas tendrá razón... ¿Cuál de las dos tendrá mayor excentricidad?

    Fácil, ¿verdad? ¿Quién quiere responder a Pepe Chapuzas?

191. La revolución de las parábolas

    Había mandando calcular varios volúmenes de sólidos de revolución y de rebote Pepe Chapuzas "mandó" el siguiente problema... No me pareció difícil pero sí interesante:

    Sea la gráfica de la función y=x² entre los puntos (0,0) y (a,a²), es decir, un arco de parábola. Y consideremos, por un lado, el sólido de revolución que se genera al girar este arco alrededor del eje de abscisas y, por otro lado, el sólido de revolución que se genera al girar el mismo arco pero ahora alrededor del eje de ordenadas... Calcúlese el valor de a para que los volúmenes de los dos sólidos sean iguales.

    Estaba claro que el arco por sí solo no generaba sólidos sino superficies y así se lo hice saber a Pepe. Pepe entonces dibujó las superficies, les puso tapas circulares y las "rellenó"...

    ¿Cuánto vale a?
    ¿Y si la función fuera y=x³?
    ¿Y si la función fuera y=xⁿ?
    ¿Cuánto vale el límite de a cuando n tiende a infinito?

169. Parábolas para desorientados

    Estábamos corrigiendo ejercicios de parábolas. En unos el eje de la parábola era vertical y en otros era horizontal. Esto supone siempre una dificultad añadida para alumnos "desorientados"... Pepe Chapuzas, que suele andar bastante "orientado" ha propuesto el siguiente reto...

    Una parábola con eje vertical corta a otra parábola con eje horizontal en 4 puntos. Demuestra que hay una circunferencia que pasa por esos 4 puntos.

    Pepe dice que lo ha resuelto tomando como ejes de coordenadas los ejes de las parábolas... y que ya no da más pistas...

167. Parábolas en la vida

    Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos de parábolas en sus vidas y las respuestas fueron las de siempre: trayectorias de balones de fútbol, chorros de agua en las fuentes..., incluso las antenas parabólicas fueron mencionadas. Para Pepe Chapuzas las Matemáticas forman parte de su vida por lo que su respuesta fue muy diferente: las parábolas de Apolonio, las parábolas de Arquímedes... Aprovechando la respuesta de Pepe propuse como tarea de casa que demostraran el siguiente resultado de Arquímedes...
    "Si s y t son dos rectas paralelas, s secante a una parábola en los puntos A y B, y t tangente a la parábola en el punto C, entonces el área del triángulo ABC es 3/4 del área encerrada entre la parábola y la recta secante".

    Se suponía que tenían que utilizar la integral definida y la regla de Barrow para resolver el ejercicio pero Pepe mostró cómo lo había descubierto Arquímedes...

    Investiga y resuelve el ejercicio de las dos maneras.

114. Las pelotas saltarinas.

    A alguien se le escapó una pelota saltarina en clase. Como curiosamente no era de nadie, quedó confiscada... Entonces propuse un ejercicio y comenté que el primero en resolverlo se quedaría con la pelota saltarina. Dicté el enunciado para que los chicos lo copiaran en sus cuadernos...

    El centro de gravedad de una pelota saltarina recorre una trayectoria parabólica. La parábola pasa por los puntos (–6,0), (0,18) y (6,0). En el punto (0,9) se encuentra el centro de gravedad de otra pelota saltarina misteriosamente inmóvil. ¿Cuál es la distancia mínima que hubo entre las pelotas saltarinas si ambas tienen de diámetro 1? (Todas las cantidades están expresadas en centímetros.)

    Fue Pepe Chapuzas el que rescató la pelota. ¿La podrías haber rescatado tú?