102. La intuición de Pepe Chapuzas

    Habíamos dibujado en la pizarra las hipérbolas equiláteras xy = ±1 y fue fácil calcular el área del círculo tangente a las cuatro ramas de hipérbola. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con la siguiente cuestión:

    Profe, intuyo que todas las elipses tangentes a las cuatro ramas de hipérbola tienen la misma área. ¿Me equivoco?

    ¡Bravo por la intuición de Pepe! Demuestra que estaba en lo cierto.

100. ¡Vaya par de hipérbolas!

    Aquí tenemos otro dibujo del cuaderno de Pepe Chapuzas con su correspondiente cuestión...

    Sean dos hipérbolas que comparten sus asíntotas de modo que las asíntotas separan a las hipérbolas. (Esta disposición no implica que sean hipérbolas conjugadas). Y sean E y F sus excentricidades... Demuestra que  E ² + F ² = E ² F ² .

4. Una trompeta para pintar

    A Pepe Chapuzas le fascina el infinito. Le encanta jugar con él en arriesgadas piruetas. Un día se tropezó con una "paradoja":

    Profe, he calculado el área entre media rama de hipérbola y su asíntota (era el ejercicio 44 de la unidad) y me sale infinita. Si quisiera pintar esta superficie necesitaria infinita pintura, y saldría infinitamente caro, ¿verdad?



¡OJO! Las unidades están en decímetros

    Pero si giro este trozo de hipérbola alrededor de la asíntota tengo una especie de trompeta. Mire cuál sería su capacidad (problema 45):

    ¡Menos de 3,1416 litros! ¡En casa tengo una lata de 5 litros! ¿Podría pintar la superficie del principio si la meto en mi trompeta llena de pintura? ¡Sería superbarato!

    ¿Quién puede contestar a Pepe? ¿Quién descubrió la "trompeta para pintar" mucho antes que Pepe?