1608. La elipse y el rombo

     Profe, mire. Dada una elipse de semiejes a y b, ¿Cuánto miden las diagonales del rombo circunscrito de menor área?

    Pepe Chapuza os propone este problema de optimización. ¡Optimizad pues!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla optimizaba óptimamente...

    Mire, profe. Los ejes de la elipse son ejes de simetría por lo que puedo trabajar con la cuarta parte.

Para un punto de la elipse (a cosλ, b senλ) en el primer cuadrante, 0 < λ < π/2, tenemos el lado del rombo (a cosλ − a μ senλ, b senλ + b μ cosλ).

Para  b senλ + b μ cosλ = 0  se tiene que  μ = −tgλ

Para  a cosλ − a μ senλ = 0  se tiene que  μ = cotgλ

por lo que −tgλ ≤  μ ≤ cotgλ. Los vértices de este lado son (simplificando...)

    ( a cosλ + a tgλ senλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b cotgλ cosλ )

( a cosλ + a sen²λ/cosλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b cos²λ/senλ )

( a cosλ + a (1−cos²λ)/cosλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b (1−sen²λ)/senλ )

( a cosλ + a/cosλ − a cosλ, 0 )    y    ( 0, b senλ + b/senλ − b senλ )

( a/cosλ, 0 )    y    ( 0, b/senλ )

por lo que el área del rombo será  2ab / (cosλ senλ) = 4ab / sen2λ . Anulando la derivada respecto de λ, −8ab cos2λ/sen²2λ = 0 , se tiene que  λ = π/4 , por lo que las diagonales del rombo miden  2a/cosλ = 2√2 a  y  2b/senλ = 2√2 b . Es fácil deducir que el área mide 4ab (como la del rectángulo circunscrito a la elipse) y que es mínima.

    ¿Y si en vez de optimizar el área optimizamos el perímetro?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota también era óptimo optimizando...

    Mire, profe. El perímetro del rombo mide  4 √( a²/cos²λ + b²/sen²λ ) . Basta con optimizar el radicando  a²/cos²λ + b²/sen²λ . Anulo la derivada  2a²senλ/cos³λ − 2b²cosλ/sen³λ = 0

   2a²senλ/cos³λ = 2b²cosλ/sen³λ

sen⁴λ/cos⁴λ = b²/a²

tg⁴λ = (b/a)²

tgλ =√(b/a)

cosλ = 1/√(1+tg²λ) = 1/√(1+b/a) = √a/√(a+b)

senλ = tgλ/√(1+tg²λ) = √(b/a)/√(1+b/a) = √b/√(a+b)

    Ahora las diagonales del rombo miden  2a/cosλ = 2√a√(a+b)  y 2b/senλ = 2√b√(a+b)  y el perímetro mínimo mide  4 √( a²/cos²λ + b²/sen²λ ) = 4 √( a(a+b) + b(a+b) ) = 4a + 4b .