Mire, profe. En una elipse, la excentricidad ε cumple que 0 < ε < 1 . Eso mismo le ocurre a la función seno en el primer cuadrante: 0 < sen θ < 1 . Si igualamos ε = sen θ , entonces θ se llama excentricidad angular de la elipse. (En el primer cuadrante, 0 < θ < π/2 .)
Pepe Chapuza hizo un dibujo para que viéramos cuál era ese ángulo θ ... (El dibujo solo era válido si a > b , evidentemente.) Y, por supuesto, había un par de cuestiones que resolver...
Profe, mire. Consideremos, inscrito en la elipse, el rectángulo de base la distancia focal y de altura el lado recto... ¿Qué otro rectángulo inscrito en la elipse tiene igual área que el anterior? ¿Para qué excentricidad angular no existe este segundo rectángulo?
SOLUCIÓN
Mire, profe. La distancia focal mide 2c y el lado recto 2b²/a , así que el área del rectángulo medirá 4b²c/a . Si centramos la elipse, (a cos λ, b sen λ), el vértice del rectángulo en el primer cuadrante será (c, b²/a) y, para ese punto, cos λ = c/a = ε , y el parámetro será λ = π/2−θ .
El área de un rectángulo inscrito en la elipse es 4ab cos λ sen λ = 2ab sen 2λ . Así que resolvemos la ecuación 2ab sen 2λ = 4b²c/a , esto es, sen 2λ = 2bc/a² .
La solución del primer rectángulo cumple 2λ = π−2θ por lo que la otra solución, la del segundo rectángulo, cumplirá 2λ' = π−2λ = 2θ , por lo tanto λ' = θ y el rectángulo buscado tiene de base 2a cos θ = 2ab/a = 2b y de altura 2b sen θ = 2bc/a .
Profe, mire. No habrá segundo rectángulo cuando ambos coincidan. Entonces c = b = a/√2 y θ = π/4. Se trata de un rectángulo de altura a.
Nina había resuelto ambas cuestiones. Resolved ahora estas... ¿Qué ángulo representa el parámetro λ? ¿Para qué valor de λ, en el primer cuadrante, el área del rectángulo es máxima?
RESOLUCIÓN
Mire, profe. Así hemos dibujado una elipse en clase de dibujo..., a partir de dos circunferencias concéntricas de radios a y b: sendos radios son los semiejes de la elipse...
El rectángulo de área máxima se obtiene anulando la derivada del área, esto es, resolviendo la ecuación 4ab cos 2λ = 0 , es decir, λ = π/4 . Se trata por tanto del rectángulo de base a√2 , altura b√2 , y área 2ab .
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