1606. El cuadrado y la cónica

    Mire, profe. En una elipse tengo inscrito un cuadrado. Calcula el lado de este en función de los semiejes de aquella.

    El primero que resuelva este reto de Pepe Chapuza se lleva un superpositivo...

SOLUCIÓN

    El superpositivo le estaba aguardando a Nina Guindilla...

    Mire, profe. Supongamos que los semiejes de la elipse miden A y B. La ecuación reducida de la elipse es  x²/A² + y²/B² = 1 . Los vértices del cuadrado inscrito están en las bisectrices de los cuadrantes, esto es,  x² = y² . Resolviendo el sistema nos queda...

x²/A² + x²/B² = 1

B²x² + A²x² = A²B²

(A²+B²)x² = A²B²

x² = A²B²/(A²+B²)

x = ±AB/√(A²+B²)

por lo que el lado del cuadrado mide  2AB/√(A²+B²) .

    Profe, mire. si en vez de una elipse fuera una hipérbola  x²/A² − y²/B² = 1 . Igual que antes...

x²/A² − x²/B² = 1

B²x² − A²x² = A²B²

(B²−A²)x² = A²B²

x² = A²B²/(B²−A²)

x = ±AB/√(B²−A²)

    Profe. Tiene que ser B > A y entonces el lado del cuadrado mide  2AB/√(B²−A²) .

    Finalmente, Nina añadió que en una parábola es imposible inscribir un cuadrado...    

    Otra cuestión y otro superpositivo: si los focos de la cónica estuvieran en el perímetro del cuadrado, ¿cuál sería la excentricidad?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se ganó este otro superpositivo...

    Mire, profe. La distancia focal coincidiría con el lado recto. Tal como se han dibujado las cónicas, sería  C = B²/A , por lo que  C/A = B²/A²

    En el caso de la elipse,  C/A = (A²−C²)/A² = 1 − C²/A² , o sea,  C/A = 1/φ .

    En el caso de la hipérbola,  C/A = (C²−A²)/A² = C²/A² − 1 , o sea, C/A = φ .

    Ya que las soluciones positivas de las ecuaciones  ε² ± ε − 1 = 0  son  ε = (±1+√5)/2 , que son la razón áurea φ y su inversa 1/φ.

    ¡Serían unas cónicas áureas!