312. SOLUCIÓN de 12. Mates en 3D

    Pepe Chapuzas solía ensimismarse. En clase decían que estaba en la cuarta dimensión. Yo no sé si la cuarta, pero la tercera dimensión sí la tenía siempre muy presente...

    El día que expliqué el teorema de Pitágoras, con una de sus muchas demostraciones gráficas (algo chapuceramente)...

...Pepe ilustró en su cuaderno una versión tridimensional (más chapucera todavía):

 

    Explica como se han hecho los cortes de los cuadrados en estas demostraciones...

    Y el día que expliqué el triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton (a la izquierda), Pepe hizo lo propio, es decir, la versión tridimensional: se ingenió un tetraedro para el desarrollo de las potencias de un trinomio (a la derecha):

  Así, por ejemplo, (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc, como ilustró así:

    Fíjate cómo confeccionó el tetraedro (se necesita algo de visión espacial) o busca información en Internet.
    Después, escribe la siguiente planta del tetraedro de Pepe y desarrolla  (a+b+c)³   y  (a+b+c)⁴ .

SOLUCIÓN

    Aquí os dejo las soluciones de Nina Guindilla...

    a) Para el "puzle del teorema de Pitágoras" solo hay que trasladar el cuadrado pequeño al centro del cuadrado grande. La versión tridimensional se basa en la bidimensional... solo hay que tener cuidado en que el ángulo señalado en la siguiente figura sea recto (de 90°)...

    Si las dimensiones de un ortoedro fueran 12, 16 y 15, la diagonal mediría 25... ¿Cuánto medirían las áreas de las piezas del puzle de Pepe?

    b) En el tetraedro de Pepe (o de Pascal), que es la versión tridimensional del triángulo de Tartaglia (o de Pascal), los números también se obtienen sumando los que tiene justo encima (que pueden ser 1, 2 o 3). La siguiente planta sería: 

    De los desarrollos solo escribo el primero porque el segundo es muy largo...

    (a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc.

    Escribe tú el desarrollo de (a+b+c)⁴.