322. SOLUCIÓN de 22. La fórmula maravillosa del tonelero

    Profe, hay una fórmula maravillosa: la de la capacidad de un tonel. Yo creía que era una chapuza de fórmula aproximada para toneleros..., pero resulta que da el volumen exacto de prismas, cilindros, pirámides (incluso truncadas), conos (incluso truncados), esferas, elipsoides (balones de rugby), casquetes de paraboloides (antenas de telecomunicación), zonas de hiperboloides (chimeneas de centrales térmicas), etc. ¿Y por qué en vez de Matemáticas no estudiamos Tonelería?

    Pepe Chapuzas se había topado con la fórmula de Simpson:  h·(A+B+4·C):6 , donde h es la altura del tonel, y A, B y C son las áreas de las secciones alta, baja y central del tonel. La fórmula sirve también para calcular muchas superficies planas (siendo entonces las secciones A, B y C longitudes de segmentos).
    Calcula los volúmenes y las áreas siguientes (comprueba que la fórmula tradicional y la de Simpson coinciden en cada caso) y envíame la solución en un documento por correo electrónico.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comprobó la fórmula de Simpson para estas figuras y para muchas otras...

    a) En la esfera de radio R tenemos h=2R, A=0, B=0 y C=pR² por lo que el volumen será V=2R·4pR²:6=4pR³:3, que es la fórmula tradicional.

    b) En el tronco de cono de altura h y radios R y r tenemos A=pr², B=pR² y C=p((R+r):2)², por lo que el volumen será V=h·(pr²+pR²+4p((R+r):2)²):6=p(r²+R²+rR)·h:3, que es la fórmula tradicional.

    c) En el casquete de paraboloide (de revolución) de altura h y radio R tenemos A=pR², B=0 y C=pR²:2, por lo que el volumen será V=h·(pR²+4pR²:2):6=pR²·h:2, que es la fórmula tradicional.

    d) En el semicírculo de radio R tenemos h=R, A=2R, B=0 y C=√3·R, por lo que el área sería S=R·(2R+4√3·R):6=(1+2√3)·R²:3. Esta fórmula es evidentemente incorrecta. (Ahora me doy cuenta de que el semicírculo se estaba riendo a carcajadas.)

    e) En el triángulo de base B y altura h tenemos A=0 y C=B:2, por lo que el área será S=h·(B+4·B:2):6=B·h:2 que es la fórmula tradicional.

    f) En el trapecio de altura h y bases A y B tenemos C=(A+B):2, por lo que el área será S=h·(A+B+4·(A+B):2):6=(A+B)·h:2, que es la fórmula tradicional.

    Comprueba si la fórmula de Simpson funciona para el volumen de una pirámide y para el área de un rombo.