martes, 15 de marzo de 2016

863. Suma de potencias. RESOLUCIÓN

    Este reto de Pepe Chapuzas no parece muy complicado. Os lo reproduzco tal como apareció en el tablón de retos...
    Se le olvidó a Pepe escribir que había que resolver este reto sin calcular ni A ni B. Envíame la solución justificando todos los pasos. Un saludo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no pudo resistir la tentación de hacer trampas e intentó calcular la solución hallando primero A y B... resolviendo el sistema formado por las dos primeras ecuaciones... Pero los valores de A y de B eran tan feos que desistió. ¡Era más fácil no calcular ni A ni B!

    Mire, profe. Voy a utilizar las fórmulas del desarrollo del binomio de Newton:
(A+B)2 = A2+2AB+B2
(A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3 = A3+3AB(A+B)+B3
    De la primera igualdad obtengo AB = ((A+B)2 – (A2+B2))/2 = (12–2)/2 = –1/2, y de la segunda igualdad obtengo A3+B3 = (A+B)3 – 3AB(A+B) = 13– 3(–1/2)1 = 5/2.

    Resuelve el reto de la otra manera: calculando antes A y B.    

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tenía sensaciones contradictorias. Eso de hacer lo que otros no hacían le gustaba y le disgustaba a la vez... No sabía si era el más "listo" o el más "tonto"... En fin, Yoyó , a veces, da demasiadas "vueltas"...

    Profe, mire: B = 1–A por lo que A2 +(1–A)2 = 2. Esta ecuación de segundo grado ordenada queda 2A2–2A–1 = 0, y sus soluciones son A=1/2+3/2 y B=1/2–3/2. (A y B son intercambiables.) Solo quedan los calculotes:
A3+B3 = (1/2+3/2)3+(1/2–3/2)3 =
= 1/8 + 3·1/4·3/2 + 3·1/2·3/4 + 33/8 + 1/8 – 3·1/4·3/2 + 3·1/2·3/4 – 33/8 =
= 1/8 + 9/8 + 1/8 + 9/8 = 20/8 = 5/2. 

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada