863. Suma de potencias. RESOLUCIÓN

    Este reto de Pepe Chapuzas no parece muy complicado. Os lo reproduzco tal como apareció en el tablón de retos...

    Se le olvidó a Pepe escribir que había que resolver este reto sin calcular ni A ni B. Envíame la solución justificando todos los pasos. Un saludo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no pudo resistir la tentación de hacer trampas e intentó calcular la solución hallando primero A y B... resolviendo el sistema formado por las dos primeras ecuaciones... Pero los valores de A y de B eran tan feos que desistió. ¡Era más fácil no calcular ni A ni B!

    Mire, profe. Voy a utilizar las fórmulas del desarrollo del binomio de Newton:

(A+B)² = A²+2AB+B²

(A+B)³ = A³+3A²B+3AB²+B³ = A³+3AB(A+B)+B³

    De la primera igualdad obtengo AB = ((A+B)² – (A²+B²))/2 = (1²–2)/2 = –1/2, y de la segunda igualdad obtengo A³+B³ = (A+B)³ – 3AB(A+B) = 1³– 3(–1/2)1 = 5/2.

    Resuelve el reto de la otra manera: calculando antes A y B.    

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tenía sensaciones contradictorias. Eso de hacer lo que otros no hacían le gustaba y le disgustaba a la vez... No sabía si era el más "listo" o el más "tonto"... En fin, Yoyó , a veces, da demasiadas "vueltas"...

    Profe, mire: B = 1–A por lo que A² +(1–A)² = 2. Esta ecuación de segundo grado ordenada queda 2A²–2A–1 = 0, y sus soluciones son A=1/2+√3/2 y B=1/2–√3/2. (A y B son intercambiables.) Solo quedan los calculotes:

A³+B³ = (1/2+√3/2)³+(1/2–√3/2)³ =

= 1/8 + 3·1/4·√3/2 + 3·1/2·3/4 + 3√3/8 + 1/8 – 3·1/4·√3/2 + 3·1/2·3/4 – 3√3/8 =

= 1/8 + 9/8 + 1/8 + 9/8 = 20/8 = 5/2.