domingo, 22 de noviembre de 2015

582. SOLUCIÓN de 282. Los cuadrados equilibristas (2ª parte)

    ¡Más difícil todavía! Cuatro cuadrados equilibristas intentan hacer un equilibrio que parece imposible. ¡Están unidos por cuatro vértices formando una cadena!... Para ayudarse en el ensayo cada pareja de cuadrados opuestos se ha unido con una goma elástica roja enganchada en sus centros... De pronto se percatan de que las dos gomas siempre tienen direcciones perpendiculares... y tienen la misma longitud...
    Pepe Chapuzas ha ilustrado un sorprendente resultado conocido como teorema de Van Aubel...   
    Busca un enunciado y una demostración de este teorema y nos lo cuentas a todos...
 
SOLUCIÓN
 
    Aquí está el enunciado del Teorema de Van Aubel que ha proporcionado Nina Guindilla:
 
    Si un cuadrilátero tiene un cuadrado adosado a cada lado, entonces los centros de los cuatro cuadrados son vértices de un cuadrilátero equidiagonal y ortodiagonal.
    El enunciado de este teorema se entendía bien con el ejemplo de los cuadrados equilibristas de Pepe Chapuzas...
    Para la demostración, Nina relacionó este teorema con un bonito resultado de dos cuadrados equilibristas...
 
    Si ABCD y DEFG son dos cuadrados, K y L sus centros, y M y N los puntos medios de los segmentos AG y CE, entonces el cuadrilátero LMKN es un cuadrado. (Los vértices de los cuadrados se han nombrado en sentido horario.)
    Nina dibujó cuatro triángulos naranjas y cuatro puntos azules, y se limitó a decir...
    Mire, profe. Los puntos azules indican ángulos rectos y puntos medios de segmentos... Buscando semejanzas de triángulos se descubre que los triángulos naranjas son igualitos... y por lo tanto el cuadrilátero LMKN es un cuadrado.
 
    Ahora le tocaba el turno al teorema de Van Aubel...
     Si trazamos los segmentos azules y sus puntos medios, por el resultado anterior, los cuadriláteros lilas son cuadrados. Por lo tanto, los triángulos MAD y MBC son igualitos... y por lo tanto los segmentos AD y BC tienen la misma longitud y son perpendiculares...
 
    Hay mucho que detallar en las "demostraciones" que ha dado Nina. ¡Es tu turno...!
    Considera también las situaciones límites (o casos degenerados).

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