200. ¡Lanza los dados!

    Profe, mire. En el insti no nos dejan jugar ni a las cartas ni a los dados... Y luego nos preguntan probabilidades de cartas y de dados... ¡Bonita contradicción!

    Pepe Chapuzas tenía un poco de razón, pero solo un poco... Creo que se mosqueó cuando propuse un problema en el que había que calcular la probabilidad de que al lanzar tres dados los resultados estuvieran en progresión (aritmética o geométrica).

    Calcula tú también esta probabilidad (pero sin jugar a los dados).

199. El póster

    Calcula el área comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita en un triángulo de lados 13cm, 13cm y 10cm respectivamente.

    Este problema apareció en un póster que decoraba el aula. Lo firmaba Pepe Chapuzas.

    ¿A qué esperas? Calcúlala y llévate un positivo.

198. Cubos cortados

    No todos los problemas de Matemáticas implican cálculos con números. Este reto de Pepe Chapuzas pone a prueba la imaginación espacial, aunque siempre puedes echar mano de un trozo de queso y un cuchillo...

    Profe, he cortado varios cubos con un plano y las secciones tienen forma de triángulo, cuadrilátero, pentágono o hexágono. ¿Podría conseguirse alguna sección con forma de polígono regular? ¿Cómo?

    Comprueba que hay secciones de los cuatro tipos de polígonos que dice Pepe e investiga si pueden ser regulares... Y no te cortes...

197. Empieza la función

    Lo último que habíamos explicado en clase era el concepto de función. Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos e inventaran ejercicios con esos ejemplos... Esta fue la propuesta de Pepe Chapuzas:

    Profe, mire. Sean  f  la función que aplicada a un número natural nos devuelve la suma de sus dígitos pares y  g  la que nos devuelve la suma de sus dígitos impares. Por ejemplo f(45923)=4+2=6 y g(45923)=5+9+3=17. El ejercicio es el siguiente...

195. Hay que llegar a mil...

    Profe, mire. Yo pensaba que la racionalización no servía para nada. Total, con la calculadora da igual que los radicales estén en el denominador... Sin embargo el siguiente ejercicio se puede resolver la mar de rápido racionalizando...

    Pepe Chapuzas me mostró el ejercicio en su cuaderno de "autotareas". Había que calcular el número de fracciones de esta serie que se necesitaban para llegar a 1000. ¿Cuántas son?

194. En busca de la fórmula

    La última clase la habíamos dedicado a la búsqueda de fórmulas. Los alumnos tenían que buscar o inventar problemas cuyas soluciones no fueran números sino fórmulas. Este es el que propuso Pepe Chapuzas...

    Este triángulo no se ha podido dibujar entero porque es muy grande... Está formado por muchas filas... Exactamente N filas. ¿Cuánto vale la suma de todos los números del triángulo?

    Obtén una fórmula que dependa de N y envíamela explicando cómo la has hallado.

193. ¡A volar!

    El último día de clase Pepe Chapuzas llegó a emocionarme...

    Profe. ¡Gracias por enseñarme a volar!

    Le devolví el cumplido comentándole que era muy fácil enseñar a volar a los chicos que nacen con alas... Se despidió con un regalo de los suyos: un problemita de Geometría...

    Si la suma de las áreas de los círculos anaranjados es 1 metro cuadrado, ¿cuál es el área del círculo verde?

    Es más fácil de lo que parece. Al fin y al cabo es un regalo...
    ¡Echa a volar!

192. El gran panal

    ¡Otro reto de Pepe Chapuzas en el que las abejas son las protagonistas!

    Mis abejas tardan 1 año en construir el gran panal... Van construyendo las celdillas tal como se muestra en la figura... Al cabo de 365 días... ¿Cuántas aristas tendrá el borde del panal? ¿Cuántas celdillas tendrá todo el panal?

    Reselve el reto. Espero que tardes en resolver este reto menos tiempo que las abejas en hacer el gran panal...

191. La revolución de las parábolas

    Había mandando calcular varios volúmenes de sólidos de revolución y de rebote Pepe Chapuzas "mandó" el siguiente problema... No me pareció difícil pero sí interesante:

    Sea la gráfica de la función y=x² entre los puntos (0,0) y (a,a²), es decir, un arco de parábola. Y consideremos, por un lado, el sólido de revolución que se genera al girar este arco alrededor del eje de abscisas y, por otro lado, el sólido de revolución que se genera al girar el mismo arco pero ahora alrededor del eje de ordenadas... Calcúlese el valor de a para que los volúmenes de los dos sólidos sean iguales.

    Estaba claro que el arco por sí solo no generaba sólidos sino superficies y así se lo hice saber a Pepe. Pepe entonces dibujó las superficies, les puso tapas circulares y las "rellenó"...

    ¿Cuánto vale a?
    ¿Y si la función fuera y=x³?
    ¿Y si la función fuera y=xⁿ?
    ¿Cuánto vale el límite de a cuando n tiende a infinito?

190. Un teorema ninguneado

    Profe, ya me he aprendido el teorema del seno y el teorema del coseno. ¿Por qué no nos enseña el teorema de la tangente?

    En clase pensaron que Pepe Chapuzas estaba bromeando. Quizá lo estuviera... pero el caso es que existe un teorema de la tangente igual de útil que los teoremas del seno y del coseno, y sin embargo es un teorema ninguneado en los planes de estudio... Así que lo escribí en la pizarra... Si a y b son lados de un triángulo y A y B son sus ángulos opuestos respectivamente entonces...

   Pepe ha propuesto resolver el siguiente problema utilizando solamente el teorema de la tangente:

    De un triángulo conocemos dos lados a=123mm y b=277mm, y el ángulo comprendido C=43º30'. Calcula los otros dos ángulos A y B del triángulo.

    Resuelve el problema de Pepe Chapuzas y demuestra el teorema de la tangente. ¡Ánimo!

189. Los aros de Johnson

    Profe, mire. Mis 3 mejores amigos y yo hemos estado jugando con nuestros aros. Los 4 aros son exactamente iguales. Bueno, los de mis amigos son azules y el mío es rojo, pero los 4 tienen el mismo diámetro... Mis amigos se cansaron enseguida del juego y dejaron sus aros en el suelo. Parecían ser circunferencias de un problema geométrico porque, casualmente, las 3 circunferencias se cortaban en 4 puntos, aunque solo 1 de los 4 puntos era común a las 3 circunferencias (era 1 punto triple) y cada 1 de los otros 3 puntos era común a solo 2 circunferencias (eran puntos dobles)... Entonces se me ocurrió poner mi aro rojo sobre los de mis amigos despacito y... ¡Encajaba!... Mi aro pasaba por los 3 puntos dobles... Ahora los 4 puntos eran triples... ¿Lo ve? Si hubiera sido más grande o más pequeño mi aro no habría encajado... Y no fue casualidad, he comprobado que "siempre" encajan...

    Sí, sería por casualidad, pero Pepe Chapuzas había redescubierto el teorema de los círculos de Johnson.

    Mándame un enunciado y una demostración de este teorema...

188. Filas y columnas

    Pepe Chapuzas estaba escribiendo la sucesión de los enteros no negativos en una tabla. Los iba colocando en filas y columnas de la siguiente manera:

    Profe, mire. Cada entero no negativo tiene su sitio en esta tabla infinita. Y cada uno de ellos se puede localizar mediante sus coordenadas, esto es, sabiendo su fila y su columna. Así, el número 19 está en la fila 3 y en la columna 5. ¿Cuáles serían las coordenadas del número 55555? ¿Qué número se encuentra en la fila 100 y en la columna 100?

    Contesta a Pepe, pero sin hacer una tabla gigante...

187. Una habitación equilátera

    Profe, mire. El suelo de mi habitación es un triángulo equilátero. Y hay un punto en el suelo que dista, respectivamente, 3, 4 y 5 metros de las paredes. ¿Qué longitud tiene una pared?

   Dudo mucho que la habitación de Pepe Chapuzas tenga la forma y las dimensiones que dice, pero en cualquier caso, calcula el lado del triángulo. Espero tu solución...

186. El radio del posavasos

    Encontré a Pepe Chapuzas tomando un zumo en la cafetería del instituto. Con un bolígrafo estaba garabateando algo en un posavasos circular de papel. Cuando terminó su zumo (y sus garabatos) me mostró el posavasos. El dibujo ilustraba el reto que había escrito por detrás...

    Calcula el radio del posavasos de Pepe y nos cuentas cómo lo has hecho.

185. El regalo de la caja

    Pepe Chapuzas trajo una caja al instituto... pero no tenía ningún regalo en su interior. De hecho no tenía "interior" porque era un ortoedro "macizo". El "regalo" consistía en la propia "caja"... Se trataba de uno de sus ya famosos retos...

    Esto que traigo es un ortoedro cuyas dimensiones (alto, ancho y largo) están en progresión geométrica. Su volumen es de 8 decímetros cúbicos y su superficie es de 32 decímetros cuadrados. ¿Cuánto suman las longitudes de sus aristas? (Por supuesto en decímetros lineales).

    Acepta el regalo de Pepe y regálanos la solución.

184. Cinco divisores

    Profe, mire. Hay números naturales que tienen una cantidad par de divisores naturales y otros que tienen una cantidad impar. Por ejemplo, el 3 tiene 2 divisores (el 1 y el 3) y el 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4). ¿Sabría decirme cuál es el menor número natural que tiene 5 (y solo 5) divisores naturales?

    No le contesté a Pepe Chapuzas. Dejé que lo pensaran en clase y ahora dejo que lo pienses tú. Averigua de qué número se trata...
    ¿Sabrías decirme qué números naturales tienen una cantidad impar de divisores naturales?

183. Una distribución triangular

    Cuando entré en clase vi que Pepe Chapuzas estaba explicando algo a sus compañeros en la pizarra. Dejé que terminara. (A Pepe le encanta ser el profe aunque sea por unos minutos). Acabó proponiendo el siguiente ejercicio...

    La gráfica de la función de densidad de una variable estadística continua determina con el eje de abscisas un triángulo (de área 1 obviamente) como en este dibujo.

    Comprueba que el rango medio de la distribución es la abscisa del circuncentro del triángulo.
    Comprueba que la moda de la distribución es la abscisa del ortocentro del triángulo.
    Comprueba que la media de la distribución es la abscisa del baricentro del triángulo.
    Calcula la mediana de la distribución.

    Resuélvelo y me mandas la solución.

182. Un problema con trampa

    Pepe Chapuzas ha ido recopilando en su cuaderno ejercicios interesantes. Pero a veces es mucho más interesante la manera de resolverlos... Este, que venía acompañado de un dibujito, me parece bastante curioso:

    Enunciado: Iba por la autopista todo el rato a 120 km/h... Justo cuando la distancia recorrida era igual a la distancia que me faltaba empezó a diluviar, de modo que tuve que reducir la velocidad y el resto del viaje conduje a 80 km/h. ¿Cuál fue mi velocidad media?

    Respuesta: ¡Ojo! Este es un problema con trampa. Los profes quieren pillarnos y esperan que contestemos 100 km/h que es la media aritmética de las dos velocidades. La solución verdadera se saca dividiendo el cuadrado de la media geométrica entre la media aritmética, o sea, 96 km/h.

    Comprueba que el resultado de Pepe es la solución correcta e interpreta el dibujo.

181. ¿Paralelas?

    Dicen que la Geometría es el arte de pensar bien y dibujar mal. Mira cómo utilizó Pepe Chapuzas el "teorema del punto gordo" para localizar el baricentro de un triángulo como intersección de sus tres medianas...

    Pero a veces los dibujos están bien y es la mente la que se equivoca. Y si no lo crees observa las siguientes ilusiones ópticas que se ha sacado Pepe de Internet...

    Aunque no lo parezca las rectas verticales son paralelas. Traed a la clase (o mandadme) dibujos de ilusiones ópticas y haremos una bonita exposición.

180. El damero hechizado

    Un día llevé a clase el dibujo de un damero sin trebejos que estaba partido en cuatro trozos: I, II, III y IV. Al lado había otro dibujo en el que los cuatro trozos anteriores se habían ensamblado en otra disposición y formaban un rectángulo... Fue Pepe Chapuzas, cómo no, el que advirtió algo extraño...

    Profe, esto es cosa de hechizo... Mire, en la izquierda los trozos forman un cuadrado de 8x8=64 escaques, mientras que en la derecha el rectángulo tiene 13x5=65 escaques. ¿De dónde ha salido el escaque de más?

    Los compañeros contaron los escaques y se quedaron perplejos, pero con la mosca detrás de la oreja... Al final Pepe dio con la respuesta acertada y el damero perdió todo su hechizo.

    ¿Sabías que el tablero del ajedrez se llama damero, las casillas escaques y las piezas trebejos?
   Busca las definiciones de otras palabras propias del ajedrez como enroque o gambito...
   Y por supuesto, descubre el hechizo del damero y nos lo cuentas. ¿De dónde surge el escaque extra?

179. Un día de la semana

    A Pepe Chapuzas le gusta hacer pensar a sus compañeros con problemas de lógica como el del siguiente ejemplo:

    Yo nací el día 25 de cierto mes de cierto año que no puedo revelar. Pero sí puedo decir que ese mes de ese año hubo tres domingos que cayeron en día par... ¿En qué día de la semana nací?

    ¿En qué día de la semana nació Pepe?

178. Cortando el alambre

    Dicté en clase un problema clásico de optimización. Pepe Chapuzas copió el enunciado en su cuaderno, pero además escribió algo que remarcó en amarillo chillón y que yo no había dictado... También hizo un dibujo para ilustrar el problema antes de resolverlo...

    Un alambre de un metro de longitud se corta en dos trozos. Doblando los dos trozos de alambre se forman un cuadrado y un círculo respectivamente. Calcula la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.
    (Los trozos de alambre tienen distintas longitudes y el cuadrado y el círculo tienen distintas áreas).

    Calcula las áreas del cuadrado y del círculo suponiendo cortamos el alambre para que las longitudes de los dos trozos sean iguales.
    Calcula las longitudes de los trozos de alambre suponiendo que cortamos el alambre para que las áreas del cuadrado y del círculo sean iguales.
    Resuelve el problema dictado calculando, además de las longitudes de los trozos de alambre, las áreas del cuadrado y del círculo. ¿Tenía razón Pepe Chapuzas en lo que remarcó con rotulador?

177. Un cuadrado de colores

    Pepe Chapuzas os propone este reto. Hay un positivo para el que lo resuelva...

    El triángulo amarillo es un triángulo equilátero inscrito en un cuadrado y comparte con este un vértice. El triángulo azul tiene un área de 1 metro cuadrado. ¿Qué área tiene el triángulo rojo?

176. Los globos del correo

    Pepe Chapuzas nos ha contado su último sueño. Lo que no nos había dicho es que hasta en sus sueños se han colado las Matemáticas...

    En Chapuzalandia se envía el correo en cestas que cuelgan de globos. Todos los globos son iguales (salvo el color). Y todas las cestas son iguales. Hay dos modelos de vehículos postales aéreos: la cesta que cuelga de 3 globos y la cesta que cuelga de 5 globos. El primer tipo de vehículo solo se eleva si la carga colocada en la cesta pesa menos de 32kg y el segundo tipo de vehículo solo se eleva si la carga colocada en la cesta pesa menos de 58kg. ¿Cuánto pesa la cesta vacía?

175. Inscrito y circunscrito

    En un examen de Trigonometría se pedía calcular el área de un triángulo. Pero Pepe Chapuzas la calculó sin usar las razones trigonométricas. Utilizó para ello la fórmula de Herón y eso que no la habíamos visto en clase... (El enunciado está en negro y la respuesta de Pepe en azul).

    Le pregunté a Pepe por la fórmula y la respuesta fue sorprendente...

    La fórmula de Herón es el límite cuando d tiende a 0 de la fórmula de Brahmagupta. Me explico. La fórmula de Brahmagupta nos da el área de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia a partir de sus cuatro lados, a, b, c y d. Si el lado d fuera tan diminuto como un punto, tendríamos un triángulo (que siempre está inscrito en su circunferencia circunscrita) y la fórmula se convierte en la de Herón. ¿Lo ve?

    Visto de esa manera Pepe tenía razón, pero aún quedaba otra sorpresa...

    Profe, mire. Hay cuadriláteros inscritos en una circunferencia y circunscritos en otra. (El cuadrado sería uno de ellos). Pues resulta que, para estos cuadriláteros, la fórmula de Brahmagupta se simplifica...

    Demuestra esta última fórmula.

174. Sumas de arcotangentes

    La enorme cantidad de fórmulas de la Trigonometría "impulsa" a los estudiantes a realizar "enormes" chuletas. Un día "incauté" a Pepe Chapuzas una "presunta" chuleta, que resultó ser unas "enigmáticas" sumas de arcotangentes:

     Profe, si le da la vuelta a la "chuleta" verá una "demostración" de la segunda suma...

    Lo que Pepe llamaba "demostración" no era otra cosa que un dibujo chapucero coloreado con rotuladores...

   Completa y explica la demostración de Pepe, realiza otra demostración para la primera suma (con dibujo) y busca otra suma de arcotangentes similar. ¡Buena suerte!

173. El mahjong

    Profe, mire. Todos los años tenemos que calcular probabilidades de sucesos relacionados con la baraja española, el dominó, los dados... ¿No podrían ser más originales los problemas (y los profes)?

    Le dije a Pepe Chapuzas que planteara él un problema a partir de un juego menos conocido y esta fue su propuesta:

    El mahjong es un juego de origen chino. Se juega con 144 fichas en su versión tradicional. Uno de los objetivos básicos del juego es conseguir ciertas combinaciones de tres fichas como el "pong" o el "chi". Investiga en qué consisten y contesta a la siguiente pregunta. Si cogemos tres fichas de un juego de mahjong al azar..., ¿qué sería más probable, un "pong" o un "chi"?

    Pues eso... Da la respuesta con explicaciones.

172. La copa de té

    Esta historia la encontré en un examen de Pepe Chapuzas. Me explicó que como había acabado tan pronto..., pues que se aburría..., y para matar el tiempo... En fin, aquí dejo que la leáis...

    En Chapuzalandia son tan finos que sirven el té en copa. En mi casa de té favorita las copas son cónicas y el interior de los conos tienen todos 10 cm de altura... Al camarero lo pongo siempre en un aprieto... Un día le dije que me sirviera la cantidad de té equivalente a la mitad de la capacidad de la copa... y otro día que me sirviera la cantidad de té que mojara la mitad de la superficie interior del cono de la copa... ¿Hasta qué altura tuvo que llenar en cada caso la copa de té?

    Responde a las preguntas, te guste o no el té...

171. A medias

    Profe, mire. En el primer examen saqué un 3,5 y en el segundo examen saqué un 7. ¿Me va a aprobar o a suspender? 

    Ya le había dicho a Pepe Chapuzas que iba a aprobar a aquellos que sacaran una media mayor o igual que 5. Lo que no había especificado era qué tipo de media iba a aplicar... Para ahorrarme el trabajo, Pepe me había calculado la media aritmética, la media cuadrática, la media proporcional (o geométrica), la media armónica y hasta la media heroniana de sus 2 calificaciones...

    Calcula tú también las 5 medias y dime en cada caso si tengo que aprobar o suspender a Pepe...

170. Cuadratura por disección

    Hace poco salió en clase el tema de las cuadraturas. Empezó todo con la cuadratura del círculo y acabó con la cuadratura por disección. Esta consiste en cortar una figura en varias piezas a modo de puzle o tangram de manera que se puedan recolocar y encajar todas las piezas para formar un cuadrado. Puse como ejemplo la cuadratura del triángulo equilátero de Dudeney:

    A Pepe Chapuzas le encantan los trabajos manuales, así que buscó más disecciones en Internet y empezó una colección de cuadraturas en cartulina... A saber: la del pentágono regular en 6 piezas, la del hexágono regular en 5 piezas, la del heptágono regular en 7 piezas, la del octágono regular en 5 piezas, la del dodecágono regular en 6 piezas, la de la estrella de David en 5 piezas, la de la cruz latina en 5 piezas, la de la cruz griega en 4 piezas y la de la cruz de Malta en 7 piezas.

    Investiga cómo se realizan estas u otras cuadraturas...
    Realiza alguna en cartulina especificando los detalles de la disección.

169. Parábolas para desorientados

    Estábamos corrigiendo ejercicios de parábolas. En unos el eje de la parábola era vertical y en otros era horizontal. Esto supone siempre una dificultad añadida para alumnos "desorientados"... Pepe Chapuzas, que suele andar bastante "orientado" ha propuesto el siguiente reto...

    Una parábola con eje vertical corta a otra parábola con eje horizontal en 4 puntos. Demuestra que hay una circunferencia que pasa por esos 4 puntos.

    Pepe dice que lo ha resuelto tomando como ejes de coordenadas los ejes de las parábolas... y que ya no da más pistas...

168. Un tren de círculos

    Echa un vistazo a este reto de Pepe Chapuzas. Aunque quizá tengas que echarle varios vistazos...

    El círculo amarillo tiene un área de 5 centiáreas y el círculo morado tiene un área de 1 centiárea. ¿Cuánto mide el ángulo verde?

167. Parábolas en la vida

    Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos de parábolas en sus vidas y las respuestas fueron las de siempre: trayectorias de balones de fútbol, chorros de agua en las fuentes..., incluso las antenas parabólicas fueron mencionadas. Para Pepe Chapuzas las Matemáticas forman parte de su vida por lo que su respuesta fue muy diferente: las parábolas de Apolonio, las parábolas de Arquímedes... Aprovechando la respuesta de Pepe propuse como tarea de casa que demostraran el siguiente resultado de Arquímedes...
    "Si s y t son dos rectas paralelas, s secante a una parábola en los puntos A y B, y t tangente a la parábola en el punto C, entonces el área del triángulo ABC es 3/4 del área encerrada entre la parábola y la recta secante".

    Se suponía que tenían que utilizar la integral definida y la regla de Barrow para resolver el ejercicio pero Pepe mostró cómo lo había descubierto Arquímedes...

    Investiga y resuelve el ejercicio de las dos maneras.