758. Los quesos de Tic y Tac (2ª parte). RESOLUCIÓN

    El mal tiempo insistía y Pepe Chapuzas con sus historias también:

    La última vez que visité a los ratoncillos Tic y Tac estaban alborotados. Don Arquímedes les había explicado por fin los volúmenes... Pero no estaban alborotados por eso sino porque habían fabricado una máquina para resolver ecuaciones de tercer grado siempre que las soluciones estuvieran comprendidas entre –10 y 10 (esta limitación se debía a la escasez de queso). En realidad la máquina consistía en una balanza con dos brazos rectos y cuatro platillos. Los brazos eran sencillamente una regla numerada. A la izquierda estaban los números negativos, –1, –2, –3..., y a la derecha los positivos, 1, 2, 3... En el fiel estaba el 0. Me fueron explicando el funcionamiento de veras entusiasmados... Me dijeron que tenían tres quesos y que los tres medían 10 cm de altura. El primer queso tenía forma de pirámide egipcia y el cuadrado de la base era de 300 cm². El segundo tenía forma de escuadra (o medio sándwich) de 1 cm de espesor y estaba apoyado sobre el canto más largo. El tercero tenía forma de tiza y la base era de 1 cm². Con las fórmulas de don Arquímedes habían calculado que si rebajaban x cm la altura de los tres quesos mediante un corte horizontal, entonces los quesos menguaban x³ cm³, x² cm³ y x cm³ respectivamente. Había además un cuarto queso pequeñito: era un cubito de 1 cm³ de volumen que, según me advirtieron, no se podía cortar en absoluto...

    Llegó la hora de poner un ejemplo: x³ – 8x² + 5x + 14 = 0. Entonces Tic y Tac colgaron los platillos en los números 1, –8, 5 y 14 de la regla, que eran los coeficientes de la ecuación y calibraron la balanza. El quesito cúbico lo pusieron en el platillo del 14. Después fueron cortando lonchas superfinas de los otros tres quesos horizontalmente. Ponían una loncha del primer queso en el platillo del 1, una loncha del segundo queso en el platillo del –8 y una loncha del tercer queso en el platillo del 5. Repitieron el proceso hasta que la balanza se equilibró. Los quesos habían bajado 2 cm. Entonces entendí. El queso de los platillos hacía palanca en los brazos de la balanza y la ecuación representaba la suma de los momentos de fuerza. Por tanto la solución era x = 2. Siguieron haciendo lonchas y llenando los platillos. La balanza se desequilibró al principio pero se equilibró de nuevo para x = 7. ¡Otra solución! Entonces se detuvieron. Les pregunté si su máquina podía calcular soluciones negativas y me respondieron que sí podía pero que necesitaban más queso... 
    Comprueba los cálculos de Tic y Tac. ¿Son correctos los principios en que se basa la máquina?
    En la ecuación del ejemplo falta por averiguar una solución negativa ¿Cómo se podría calcular con la balanza de Tic y Tac?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. El queso piramidal tiene un volumen de V = B·H:3 = 300cm²·10cm:3 = 1000cm³ y la piramidita (azul) de altura x tendrá un volumen de x³·1000:10³ = x³. El queso en forma de escuadra tiene un volumen de V = B·H:2 = 20cm²·10cm:2 = 100cm³ y la escuadrita (azul) de altura x tendrá un volumen de x²·100:10² = x². Y el queso en forma de prisma tiene un volumen de V = B·H = 1cm²·10cm = 10cm³ y el prismita (azul) de altura x tendrá un volumen de x·10:10 = x. No olvidemos que los pesos de los quesos son fuerzas proporcionales a sus volúmenes...
    La balanzas se equilibran cuando se igualan los momentos de fuerza (torques). Estos se calculan multiplicando los pesos por la distancia al punto de apoyo (fiel de la balanza) y por lo tanto son los monomios de la ecuación. El equilibrio representa por lo tanto la resolución de la ecuación (solución positiva). Para obtener la solución negativa se cambian los platillos de posición para resolver la ecuación – x³ – 8x² – 5x + 14 = 0 (cambiando x por –x). La solución negativa es x = –1.

    ¡Bravo por Nina Guindilla!
    ¿Qué otro queso habría que tener para resolver ecuaciones de cuarto grado?

RESOLUCIÓN

    A Yoyó Peluso le encantaba el queso más que a los ratones...

    Mire, profe. Para el término de 4º grado necesitaríamos un queso tal que al rebajar su altura x cm entonces su volumen menguara x⁴. Si el queso fuera un sólido de revolución de altura 10cm con eje de rotación vertical (que aquí es el eje x), la generatriz vendría dada por la siguiente función:  y = g(x) = 2·x^1,5:π^0,5 (ahora el eje y es el horizontal). Calculamos el área que va menguando...

    ¡Para ser un queso es bastante raro! ¡Parece la carpa de un circo!

757. Los quesos de Tic y Tac. RESOLUCIÓN

    Era la hora del recreo y llovía a cántaros. Esperamos un poco a que escampara pero como no amainaba el temporal nos quedamos en el aula. Pepe Chapuzas, que es un cuentacuentos aficionado, nos amenizó la espera... con un cuento con cuentas.

    Os voy a revelar un secreto: he descubierto dos ratoncillos en la torre del reloj... y por eso les he puesto los nombres de Tic y Tac. Como los vi hambrientos les llevé tres quesos que había en la despensa. Uno era cónico como los quesos de tetilla, otro era semiesférico como medio queso de bola y el tercero era cilíndrico como los quesos del pueblo. Me di cuenta de que los tres quesos tenían la misma anchura y la misma altura. Le di los dos primeros quesos a Tic y el tercero, que era el mayor, se lo di a Tac.

    Los ratoncillos, en vez de ponerse contentos, empezaron a discutir porque los dos creían que el otro tenía más queso... Tuve que demostrarles con las fórmulas de los volúmenes, y asegurándoles que los quesos no tenían agujeros por dentro, que ambos habían recibido la misma cantidad; pero no se convencieron porque, según me contaron, en la escuela de don Arquímedes, el búho del campanario, todavía no habían llegado a los volúmenes; tan solo habían visto las áreas... Así que tuve que convencerles de otra manera... Les dije que tenían que comerse los quesos en lonchas circulares (cortadas horizontalmente).

    Por cada loncha que se comiera Tac de su queso cilíndrico, Tic se comería una loncha de su queso cónico y una loncha de su queso semiesférico. Las lonchas tendrían que ser superfinas, del grosor de una molécula de queso (les aseguré que todas las moléculas de queso eran iguales ;-) y que las lonchas no se podían hacer más finas porque cuando se rompen las moléculas de queso, el queso deja de ser queso). Así, loncha a loncha, los quesos menguarían en altura a la par y se acabarían a la vez. Y como ya sabían calcular áreas podían comprobar solitos que en cada almuerzo los dos se comerían el mismo número de moléculas...

    Dicho y hecho: hicieron los cálculos... y las paces..., aunque los quesos se los comieron en un día y no en lonchas precisamente.

    ¡Venga! ¡A hacer las cuentas! Calcula los volúmenes de los quesos y las áreas de las lonchas y comprueba lo que se cuenta en el cuento. ¿Es correcto el razonamiento de Pepe?

    El cuento, no obstante, no había terminado. El final lo contó durante el siguiente chaparrón.

    Fui a ver a Tic y a Tac de nuevo y me habían preparado una sorpresa. En agradecimiento me obsequiaban con sendos regalitos de madera que habían tallado ellos mismos. Me hizo mucha ilusión. El de Tic era un tetraedro regular de 2 cm de arista. Y el de Tac era un elipsoide de ecuación π x² + π y² + 2 z² ≤ 1. Además me aseguraron que los dos objetos tenían el mismo volumen a pesar de ser tan diferentes. No sabían calcularlo aún pero, si el artificio de las lonchas era válido, los volúmenes tenían que coincidir... 

    Demuéstralo. Observa el dibujo y calcula las áreas de las secciones (lonchas) y los volúmenes. Y me lo cuentas todo.

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla no le daban miedo los ratones (al menos los de los cuentos)... 

    Profe, mire. Los volúmenes de los quesos son:

    Semiesfera de radio R: V=2πR³:3
    Cono de radio R y altura R: V=πR³:3
    Cilindro de Radio R y altura R: V=πR³

    Es evidente que los dos quesos pequeños equivalen al queso grande...
    Si lo hacemos por lonchas cortadas a altura H, las áreas de estos círculos son:

    Loncha de semiesfera: A=πH(2R–H)   (Teorema de la altura)
    Loncha de cono: A=π(R–H)²
    Loncha de cilindro: A=πR²

    La loncha grande equivale a las dos lonchas pequeñas.
    El razonamiento de Pepe es correcto. Ilustra el conocido como principio de Cavalieri...

    Los volúmenes, en centímetros cúbicos, del elipsoide y del tetraedro son iguales: √8:3
    Las áreas, en centímetros cuadrados, de las secciones a altitud H respecto del centro (del elipsoide y del tetraedro) son iguales: 1–2H²

    Profe. me ha sorprendido que las lonchas del tetraedro y del elipsoide, siendo objetos tan diferentes, tuvieran la misma área... 
   
    Nina me dio los resultados: faltan los pasos intermedios, los cálculos, los razonamientos... Obtén los resultados de Nina de la forma más rigurosa que puedas.

    ¿Por qué crees que el búho del cuento de Pepe se llamaba don Arquímedes?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso solo ha respondido a la última pregunta...

    Las ideas de Cavalieri son un avance de lo que hoy llamamos cálculo infinitesimal: cálculo diferencial y cálculo integral. Estas ideas ya aparecían en "El Método", el libro perdido de Arquímedes (y encontrado afortunadamente muchos siglos después)... El búho del cuento no se llamaba así por casualidad...

756. Amistades y parentescos numéricos. RESOLUCIÓN

    Profe, ¿si dos números son primos entre sí, entonces tienen abuelos comunes?

    Este era el humor de Pepe Chapuzas... Cuando cesaron las risas de los alumnos me dirigí a Pepe para comentarle que entre los números naturales no solo había "parentescos" sino también "amistades". Que dos números eran amigos si uno era igual a la suma de los divisores propios del otro. Que, por ejemplo, los números 220 ♥ 284 eran amigos porque 220=1+2+4+71+142 por un lado y por otro 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110. Y que además había números llamados perfectos porque eran amigos de sí mismos como el 6=1+2+3 o el 28=1+2+4+7+14, o sea, 6 ♥ 6 y 28 ♥ 28...

    En vista de los ejemplos define qué es un divisor propio.
    Comprueba la "amistad" de las siguientes "parejitas": 1184 ♥ 1210, 2620 ♥ 2924, 5020 ♥ 5564 y 6232 ♥ 6368.
    Comprueba la "perfección" de los siguientes "numeritos": 496 ♥ 496 y 8128 ♥ 8128.
    Nos vemos...

SOLUCIÓN

    Aquí os dejo la solución de Nina Guindilla...

    1184 = 1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605 
    1210 = 1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592

    2620 = 1+2+4+17+34+68+86+172+1462
    2924 = 1+2+4+5+10+20+131+262+524+655+1310

    5020 = 1+2+4+13+26+52+107+214+428+1391+2782
    5564 = 1+2+4+5+10+20+251+502+1004+1255+2510

    6232 = 1+2+4+8+16+32+199+398+796+1592+3184
    6368 = 1+2+4+8+19+38+41+76+82+152+164+328+779+1558+3116

    496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

    8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

    Busca información sobre números sociables...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dio la siguiente respuesta...

    Profe, mire. Un conjunto de número se dice que son sociables si forman una cadena cerrada (un ciclo) en el que cada uno es la suma de los divisores propios del anterior. Aquí tenéis un ciclo de 5 números sociables:

755. ¡"Menudas" potencias! RESOLUCIÓN

    Estaba un día en clase relatando la archiconocida leyenda del premio que recibió Susa, el inventor del ajedrez, por tan ingenioso juego. Mejor dicho, del premio que no recibió, porque este consistía en 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, 16 por la quinta, y así, duplicando y duplicando hasta la última casilla... Teniendo en cuenta que hay 64 casillas en el tablero, la cantidad se podría calcular con las fórmulas de las progresiones geométricas si no fuera porque salía una cantidad descomunal. ¡No había tanto trigo en el mundo...! En la pantalla de la calculadora no cabía si no era en notación científica, que no dejaba de ser una aproximación. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con una interesante cuestión...

    Profe, ¿se podría averiguar la última cifra de este gigantesco número sin tener que calcularlo de forma exacta? ¿Cuál sería esa misteriosa última cifra que no se puede ver ni siquiera en las calculadoras?

    No me quedó más remedio que improvisar una clase sobre la última cifra de las potencias (con números naturales). Empecé con ...0^N  = ...0, lo cual significaba que las potencias de los números que acababan en 0 también acababan en 0 como se comprobaba fácilmente. Y lo mismo le pasaba a los números ...1, ...5 y ...6. Así que propuse que investigaran cómo acababan las potencias de los números ...4, ...9, ...2, ...3, ...7 y ...8, en este orden. Al momento Pepe garabateó los grafos correspondientes al darse cuenta del comportamiento cíclico de las últimas cifras de las sucesivas potencias de un número...

    Interpreta y explica los diagramas de Pepe.
    Comprueba que no hay ningún número cuyo cuadrado acabe en 2, 3, 7 u 8.
    Comprueba que ...N = ...N⁵ = ...N⁹, es decir, que la última cifra de cualquier número coincide con la última cifra de su quinta potencia y con la última cifra de su novena potencia.
    Teniendo en cuenta lo anterior calcula la última cifra de las potencias 679⁶⁷⁹ y 537⁵³⁷.
    Calcula la última cifra del premio de Susa.

SOLUCIÓN

    Profe, mire... 
    a) Cada diagrama indica la última cifra de las sucesivas potencias de un número según su última cifra. Así, el cuadrado, el cubo, la cuarta potencia, la quinta potencia, etc. de 772
terminan en 4, 8, 6, 2, ... sucesivamente según se observa en el tercer diagrama.
    b) Observando todos los diagramas no hay ningún cuadrado que termine en 2, 3, 7 u 8: si un número termina en 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, su cuadrado terminará en 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 o 1 respectivamente.
    c) La quinta y la novena potencias son muy interesantes porque su última cifra coincide con la del número puesto que los ciclos son cadenas de 1, 2 o 4 eslabones. (Lo mismo le ocurre a la 13ª potencia, a la 17ª potencia, etc.)
    d) Con la ayuda de los diagramas tenemos que a última cifra de 679⁶⁷⁹ es 9 ya que el exponente es impar, y la última cifra 537⁵³⁷ es 7 porque el resto de dividir 537 entre 4 es 1.
    e) El premio de Susa es 1+2+4+8...+2⁶³ = (2·2⁶³ – 1):(2 – 1) = 2⁶⁴ – 1. Como 64 es múltiplo de 4, la última cifra será 6 – 1 = 5.

    ¡Muy buena la respuesta de Nina Guindilla! 
    Hay calculistas que adivinan rápidamente la raíz decimotercera (natural) de un número (natural). ¡Hay hasta concursos de calculistas! ¿Por qué la decimotercera? Investiga los trucos de estos calculistas...

RESOLUCIÓN

    Oigamos a Yoyó Peluso con toda su artillería...

    Mire, profe, Calcular la raíz decimotercera es más fácil de lo que parece... Si la raíz decimotercera de un número natural es un número natural, ambos números terminan en la misma cifra como ha dicho Nina de las potencias decimoterceras... Esto le da mucha información al calculista... La primera cifra y el número de cifras le da el resto de la información que necesita... además de buena memoria. 

 10¹³ tiene 14 cifras y empieza por 1.

 20¹³ tiene 17 cifras y empieza por 8.

 30¹³ tiene 20 cifras y empieza por 1.

 40¹³ tiene 21 cifras y empieza por 6.

 50¹³ tiene 23 cifras y empieza por 1.

 60¹³ tiene 24 cifras y empieza por 1.

 70¹³ tiene 24 cifras y empieza por 9.

 80¹³ tiene 25 cifras y empieza por 5.

 90¹³ tiene 26 cifras y empieza por 3.

    Por ejemplo, el número 16.358.756.351.530.297.517.773.047 tiene 26 cifras y termina en 7. ¡Es la raíz decimotercera de 87!

754. Un problema con mucho arte. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas había pintado un cuadro abstracto para un concurso. Luego me confesó que era un problema de Mates pero como se le estropeó el dibujo (lo manchó de zumo) lo aprovechó reutilizándolo. Aquí podéis ver cómo le quedó la chapuza. El enunciado del problema aún estaba por detrás de la lámina.

    Los círculos son tangentes entre sí y sus radios miden 6, 7 y 8 centímetros respectivamente. Los vértices del triángulo son los centros de los círculos. Calcula el área del triángulo y los senos de sus tres ángulos.

    Pepe se había preparado los datos para que el área saliera un número natural y los senos fueran números racionales. Calcúlalo todo y envíame los resultados.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla adivinó que Pepe no iba a ganar el concurso...

    Profe, mire. El área de un triángulo de lados a, b, c y semiperímetro s=(a+b+c)/2 se puede calcular con la fórmula de Herón:

    Es fácil comprobar que s–a, s–b y s–c son los radios de los círculos (6cm, 7cm y 8cm), y como s=6+7+8=21cm, tenemos que s(s–a)(s–b)(s–c)=21·6·7·8=7056, y el área será la raíz cuadrada de 7056 que es 84 centímetros cuadrados.
    Por otro lado tenemos otra fórmula mucho más conocida para el área de un triángulo:

   Con lo que podemos calcular los senos a partir de los lados a=15cm, b=14cm y c=13cm.

senA=2·84:14:13=12/13

senB=2·84:15·13=56/65

senC=2·84:14:15=4/5

    Para rematar este problema "con mucho arte" calcula el área de la región morada del cuadro de Pepe.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comprobó que el triángulo era acutángulo... Solo tenía que restarle al área del triángulo las áreas de los tres sectores circulares... 

    Profe, mire. El área de un sector circular de radio R y ángulo A (en radianes) mide 

R²·A:2. 

    Por lo tanto la región morada medirá 

84 – 36·arcsen(12/13):2 – 49·arcsen(56/65):2 – 64·arcsen(4/5):2 = 7,72cm².

    

753. ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente! RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha inventado una versión algo diferente del juego de "frío-frío caliente-caliente", solo que en vez de esconder una cosa para que otro la encuentre, ahora se trata de inventar una historia para que los demás adivinen en qué parte del planeta ha sucedido. Puso el siguiente ejemplo:

    Se veía venir. Dos caballeros tan pendencieros no podían acabar sino batiéndose en duelo. Se pusieron espalda contra espalda y avanzaron 20 pasos en línea recta y en sentidos contrarios, ambos hacia el norte, antes de disparar.

    Un compañero interrumpió a Pepe. "Lo del norte" no le convencía en la historia. Pepe le aseguró que la historia era "verídica". Otro compañero añadió que era un ejemplo "bélico". Pepe argumentó que las pistolas eran "de agua" y que ni siquiera funcionaron.

    ¡Juega tú! ¿Por qué no funcionaron las pistolas? ¿En qué lugar ocurrió la escena? ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!   

SOLUCIÓN
 
    ¡Se pusieron espalda contra espalda en el polo sur! Por eso avanzaron ambos hacia el norte... Y las pistolas de agua no funcionaron porque se congelaron...

    Nina Guindilla acertó, o como se dice en el juego de "frío-frío caliente-caliente", se quemó...(Algo extraño tratándose del polo sur.) Ahora le tocaba a ella inventar una historia:

    Mi mejor amiga se encuentra en mis antípodas: el punto de la Tierra diametralmente opuesto al lugar donde me encuentro... Si me encuentro en la capital de Nueva Zelanda, ¿Dónde está mi mejor amiga?

    ¡Frío, frío! ¡Caliente, caliente!

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. La capital de Nueva Zelanda es Wellington (41º 17' 11" S, 174º 46' 32" E). Sus antípodas (41º 17' 11" N, 5º 13' 28" W) se hallan en Alaejos (Valladolid)...

    Yoyó Peluso se quemó...

752. La superbici de Pepe Chapuzas. RESOLUCIÓN

    Iba a proponer en clase un problema de velocidades con bicicletas... Un alumno pesimista me dijo que sería muy difícil porque era de bicis y solamente habíamos hecho de motos... Otro estaba encantado porque era un problema más ecológico ya que las bicis no contaminaban al contrario que las motos... Al fin, cuando cesaron las interrupciones, pude dictar el enunciado... Se trataba de una etapa ciclista de ida y vuelta. Consistía en subir y bajar un puerto de montaña por la misma carretera. El objetivo era hacer una velocidad media de 20 km/h en la etapa. Durante la subida el ciclista había conseguido una velocidad media de 10,1 km/h. La cuestión era a cuánta velocidad debía bajar para conseguir el objetivo.

    El alumno pesimista comentó que faltaban datos. El alumno ecologista (que, según su madre, quería arreglar el mundo menos su habitación...) contestó, sin hacer cálculos, que tendría que bajar, más o menos, a 30 km/h. Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, tendría que bajar a más de 1000 km/h.

    Ya os podéis imaginar el revuelo que se formó en la clase. Pero el caso es que Pepe no estaba bromeando... Había acertado otra vez, aunque no sé cómo diablos lo hizo de cabeza.

    Realiza los cálculos y dame la solución exacta.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla y Pepe Chapuzas solían pasear juntos en bicicleta. Ambos pensaban que su bici era la mejor... aunque no tan buena como la bicicleta del problema.

    Profe, mire. Como la subida y la bajada se hace por la misma carretera, la velocidad media (20 km/h) será la media armónica entre la velocidad de subida (10,1 km/h) y la de bajada (V). (La media armónica es el inverso de la media aritmética de los inversos...)

    No cabe duda de que era una superbici...

    Justifica el uso de la media armónica para resolver este problema.
    Busca otras aplicaciones de la media armónica...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró una aplicación geométrica de la media armónica... Dibujó una elipse y...

751. Las paradojas de la sandía. RESOLUCIÓN

    Un día veo a Pepe Chapuzas con una sandía abierta expuesta al sol y le pregunté que qué chapuza estaba haciendo. Su respuesta no me sorprendió en absoluto. Sabía que sería algún "experimento científico"...

    Profe, estaba comprobando si lo que dice mi vecina es verdad... Según ella, una sandía al sol se enfría, por paradójico que parezca. Dice que es por efecto de la evaporación del agua... Pero se me ha roto el termómetro así que la prueba tendrá que esperar otro día... y otra sandía.

    Es cierto que yo también había oído esa creencia popular de la sandía abierta al sol, pero nunca la había tomado en serio. Entonces recordé otra "paradoja" de las sandías al sol que comenté en clase al día siguiente en forma de problema... Empecé informando de que casi toda la masa de una sandía era líquido (básicamente agua), ¡nada menos que el 99%! Comenté que Pepe se había dejado una sandía de 8 kilos a pleno sol y que se había evaporado parte de su agua de modo que al final el líquido suponía solamente el 96% de la masa total. Terminé preguntando cuánto pesaría entonces la sandía... No había terminado de formular la pregunta y Pepe ya tenía la mano alzada. Le di la palabra...

    Profe, la sandía no me la dejé al sol sino que me la llevé a casa, pero si me la hubiera dejado, y con los datos del problema, ya no pesaría más de 2 kilos y medio...

    Los compañeros rompieron a reír mofándose de Pepe... Pero Pepe no se había equivocado. Demostró tener mejor intuición que sus compañeros...

   Haz los cálculos y comprueba que Pepe tenía razón...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tampoco sabía si la primera paradoja era cierta, pero había oído también que la sandía al sol se enfriaba por efecto de la evaporación... Por la segunda paradoja le pidió disculpas a Pepe por haberse reído. Estos son los cálculos que hizo:

    Antes:
                        Parte sólida + parte líquida ------ 100% ------------ 8 kg
                        Parte sólida --------------------------------1% ------------ 0,08 kg
    Después:
                        Parte sólida --------------------------------4% ------------ 0,08 kg
                        Parte sólida + parte líquida ------ 100% ------------ 2 kg

    La sandía pesaría solamente 2 kg.

    Busca problemas "paradójicos" y proponlos a tus compañeros...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso enunció la paradoja de Banach-Tarski... Sus compañeros fliparon en colores cuando aseguré que el enunciado era cierto. (Hay muchos artículos en Internet sobre el asunto.)

    Se puede descomponer una esfera del tamaño de una sandía en una cantidad finita de subconjuntos disjuntos como si fueran piezas de un puzle tridimensional y recomponer dichas piezas de otra manera para conseguir otra esfera pero ahora del tamaño del sol...

750. Fracciones casi egipcias. RESOLUCIÓN

    Una dificultad que tenemos los profes al mandar deberes es que Internet, mejor dicho Google, ofrece a menudo la solución a golpe de "clic". A veces pido a mis alumnos que propongan ejercicios no "googleables". Pepe Chapuzas, que siempre intuye el quid de la cuestión, es un hacha. Le basta con modificar un ejercicio clásico como el de las fracciones egipcias para que la solución no aparezca inmediatamente en la pantalla del ordenador:

    Una fracción egipcia es la descomposición de una fracción en suma de varias fracciones unitarias distintas. (Una fracción unitaria tiene 1 en el numerador). Por ejemplo: 3/10 = 1/5 + 1/10 = 1/4 + 1/20. Es fácil localizar fracciones egipcias en Internet, así que propongo llamar "fracciones casi egipcias" a las descomposiciones que incluyan la resta. Por ejemplo: 3/10 = 1/2 – 1/5 = 1/3 – 1/30.

    Ejercicio: Busca fracciones egipcias y casi egipcias equivalentes a las siguientes fracciones: 

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla obtuvo las fracciones egipcias y casi egipcias sin necesidad de buscarlas en Internet:

 

    8/11 = 1/2 + 1/8 + 1/11 + 1/88 = 1/2 + 1/6 + 1/14 + 1/231 – 1/66

    2/9 = 1/5 + 1/45 = 1/2 + 1/18 – 1/3

    3/13 = 1/7 + 1/13 + 1/91 = 1/4 + 1/26 – 1/18 – 1/468

    5/12 = 1/3 + 1/12 = 1/2 – 1/12 

    4/7 = 1/2 + 1/14 = 1/3 + 1/4 + 1/42 – 1/28

 

    Estas descomposiciones no son únicas para cada fracción. Busca otras soluciones distintas para las cinco fracciones...

 

RESOLUCIÓN

 

    Yoyó Peluso no siempre hace lo que le piden...

 

    Mire, profe. Este ejercicio me parecía tan aburrido que empecé a juguetear con las fracciones casi egipcias de otra manera... Verá. Intenté descomponer el número 1 y esto es lo que pasó:

1 = 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + 1/5 – 1/6 + ...  =

= 1/2 + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + (1/5 – 1/6) + ... =

= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ...

    ¿Se da cuenta? Si multiplicamos por 2 tenemos:

2 = 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ...

    Es decir: la suma de los inversos de los infinitos números triangulares es 2. ¡Increíble!

 

    Si te apetece puedes aportar el rigor del que Yoyó adolece... 

749. Medio problema de ajedrez. RESOLUCIÓN

    Estábamos en clase poniendo ejemplos de números naturales. Llegado el turno de Pepe Chapuzas puso como ejemplo el número de jugadas en una partida de ajedrez. Y es que el ajedrez es una de las muchas grandes pasiones de Pepe. Pero era un ejemplo con trampa, porque al día siguiente trajo el siguiente reto:

    Juegan blancas y dan jaque mate en media jugada...

     En seguida sus compañeros protestaron, diciendo que no era posible media jugada porque el número de jugadas era un número entero y no fraccionario. Se habían olvidado de que hay alguna jugada de ajedrez donde se pueden mover dos piezas... y ya no doy más pistas... ¡A jugar!

SOLUCIÓN

 

    En más de una ocasión he pillado a Nina Guindilla y Pepe Chapuzas jugando al ajedrez en el recreo...

 

    Profe, mire. El enroque es una jugada de ajedrez (la única) donde se mueven dos piezas. Primero se mueve el rey (2 casillas) hacia la torre y luego la torre salta sobre el rey y se coloca a su lado. Media jugada quiere decir por lo tanto medio enroque... Ya se ha movido el rey y ahora le toca a la torre... ¡Está claro que es jaque mate porque las negras no pueden enrocarse! 

 

    Dibuja la posición de las piezas antes y después de efectuar el enroque...

    Busca información acerca del juego del ajedrez y aclara... Hay dos tipos de enroque: el corto y el largo... ¿Cómo se anotan los enroques en las partidas?

    No siempre se puede realizar un enroque... ¿Qué condiciones son necesarias?

    ¿Por qué el enroque se llama enroque?

 

RESOLUCIÓN

 

    Veamos las respuestas de Yoyó Peluso:

 

    a)

    b) O-O y O-O-O

    c) Para realizar un enroque, tanto el rey como la torre no se habrán movido antes; las casillas entre el rey y la torre deberán estar desocupadas; el rey no podrá estar en jaque; y las casillas que han de ocupar el rey y la torre tras el enroque no estarán amenazadas. (Y por supuesto, el enroque no se puede hacer en vertical con una torre obtenida con la promoción de un peón...) ;-)

    d) Porque roque es una antigua denominación de la torre, de ahí las palabras enroque y enrocar...

748. La casa de Zero y los logaritmos. RESOLUCIÓN

    Aquí tenéis un relato que encontré en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Por supuesto termina con un ejercicio de Mates...

    Hola. Me llamo Zero y os voy a hablar de mi casa y de los seres tan complejos que la habitan. Todos los habitantes tenemos unas zonas predeterminadas en la casa... Empecemos con el desván. En el desván está prohibido entrar. Yo creo que allí moran fantasmas, espectros y otros seres imaginarios. Ellos no pueden salir ni nosotros, los seres reales, entrar. El desván es el lugar más misterioso de la casa... Un lugar interesante también es la pecera. En la pecera viven los únicos animales de la casa. Me refiero, ya se entiende, a los únicos animales irracionales. Los racionales, es decir, los humanos, no nos metemos en peceras... Un lugar curioso es el relicario. El relicario es un armarito con fracciones de humanos. No es broma. Entre las reliquias hay huesos quebrados de santos... Pero sigamos. Las zonas más cómodas de la casa nos están reservadas a los humanos enteros. Somos muy diferentes unos de otros y estamos separados. Unos por su carácter son más bien positivos y naturales y se alojan en el ala derecha, mientras que los otros, los negativos, se ubican en la izquierda. Yo siempre estoy en medio y para todos soy una nulidad. Un día invitamos a unos logaritmos y se quedaron a dormir... ¿A ver si adivinas a dónde fue a parar cada uno?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla controla bien los logaritmos, así que no tuvo ninguna dificultad en contestar a la pregunta...

    a) No existen logaritmos de números negativos en el conjunto de los números reales... He indagado el asunto y resulta que log (–7) es un número imaginario por lo que tuvo que ir al desván de la casa de Zero.

    b) El valor de log 7 es irracional... ¡A la pecera!

    c) Este logaritmo es fácil: log 0,1 = –1. Este logaritmo se alojó en el ala izquierda...

    d) Si recordamos bien las potencias, sabremos que log √10 = 1/2 = 0,5. Este logaritmo se fue derechito al relicario...

    e) Este es el que más me gusta: log 99,999... = log 100 = 2... Se fue a dormir, claro está, al ala derecha.

    Para no desentonar, Zero se disfrazó de logaritmo... ¿De cuál?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso exclamó:

    ¡Chupao!

0 = log 1

747. Quien la sigue la consigue... RESOLUCIÓN

    En las pruebas de inteligencia y en los pasatiempos matemáticos suele aparecer el test de lógica conocido como "siga la serie". Es una de las actividades favoritas de Pepe Chapuzas. El otro día propuso este reto a sus compañeros. Bueno, en realidad eran dos en uno:

    Completa las dos series teniendo en cuenta que las dos soluciones representan la misma cantidad. Sigue las series...

    Pues eso, sigue las series. Dame la respuesta, razonada por supuesto, como comentario y recuerda que quien la sigue... la consigue.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla disfruta con los retos de "siga la serie"... El primero lo resolvió rápido... No podemos decir lo mismo del segundo...

    Profe, mire. La primera serie está formada por las iniciales de los nombres de los primeros números naturales: Uno, Dos, Tres, Cuatro, Cinco, Seis, Siete, Ocho y... Nueve. La respuesta es N. Esto me dio una pista para la segunda serie... La segunda serie es una sucesión constante... ¡Sí! Está formada por nueves, ¡lo que cambia es la base de numeración! Nueve es 9 en base 10, 10 en base 9, 11 en base 8, 12 en base 7, 13 en base 6, 14 en base 5, 21 en base 4, 100 en base 3 y... 1001 en base 2. La solución es 1001.

    Prepara un reto de "siga la serie" para tus compañeros.

RESOLUCIÓN

    Lo primero que aclaró Yoyó Peluso es que en Matemáticas las palabras serie y sucesión no significaban lo mismo: una serie era la suma de los términos de una sucesión (si eran términos sumables)... 
    Yoyó no propuso ningún "sigue la serie", perdón, "sigue la sucesión" sino que nos habló de los números de Ulam...

    Profe, mire. Los primeros números de Ulam son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99... 
    La sucesión se define de la siguiente manera: a₁ = 1, a₂ = 2 y, para n>2, a_n es el menor número que se puede obtener como suma de dos términos anteriores diferentes (a_n = a_i + a_j , i<j<n) de forma única. Por eso 5 no es un número de Ulam, porque 5 = 1+4 = 2+3... 
    Esta sucesión no es tan caótica como parece, porque existe una constante K = 2,5714474995... para la que se cumple que cos(K·a_n)<0, para casi todos los valores de n comprendidos entre 1 y 10000000 (diez millones). ¡Solo falla para a₂, a₃, a₄₇, y a₆₉! 

    La conjetura está servida...