779. La compleja realidad... RESOLUCIÓN

    Todos los años pasa lo mismo. Los números complejos levantan muchas sospechas de falsedad. Los alumnos afrontan el tema con escepticismo e incredulidad. Aprenden a operar con ellos pero los resultados se quedan en el apartado de lo ficticio o especulativo... Pepe Chapuzas no iba a ser menos.

    Profe, esto de trabajar con cosas que se suponía que no existían: raíces cuadradas y logaritmos de números negativos... ¡Números imaginarios! Y para rizar el rizo, los números imaginarios se operan entre sí para dar otros números imaginarios o, para colmo, ¡para dar números reales! ¿Cómo es posible que i por i o que i elevado a i sean números reales? ¿Qué significa el seno de un ángulo imaginario?

    Averigua cuánto es ln (-1), i ⁱ y cos i.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha encontrado una fórmula para los logaritmos complejos: 

ln z = ln |z| + arg (z) · i

    Profe, mire. Un número complejo tiene infinitos argumentos, por lo tanto, un número complejo tiene infinitos logaritmos. Dicho de otra manera: con los complejos la función logaritmo no es una función... Entonces, ¿por qué se llama función? En fin, ln (-1) = ln 1 + (2k+1) p i, para todo entero k. Es decir: pi, 3pi, 5pi, ..., y también -pi, -3pi, -5pi, ...

    Nina, también encontró una fórmula para los cosenos complejos: 

cos z = (e^iz+ e^-iz)/2

    Con esta fórmula tenemos: cos i = (eⁱⁱ+ e^-ii)/2 = (e^-1+ e¹)/2 = (1/e + e)/2.

    Finalmente para i ⁱ no dio ninguna fórmula, se limitó a comentar que había visto que había infinitos resultados (todos reales):

    El más "famoso" de los resultados es  i ⁱ = 0,207879576...

    A Nina le intrigaba el hecho de que hubiera infinitos resultados al operar con complejos... Y que las funciones de toda la vida no fueran funciones por este motivo... Investiga esto y nos lo cuentas.

RESOLUCIÓN

    Yoyó encontró la respuesta en el concepto de función multívoca...

    Mire, profe. Este comportamiento parece extraño porque en una función normal (unívoca) ningún origen puede tener más de una imagen... Pero si somos "permisivos" y aceptamos orígenes con varias imágenes, tenemos que admitir las funciones multívocas... Y no hace falta saltar al plano complejo para encontrar ejemplos... La función arcotangente (real de variable real) nos sirve: puesto que tg(kp) = 0 para todo k entero, podemos escribir que arctg(0) = kp.