307. SOLUCIÓN de 7. El método de los zapatos

    Profe, ¿hay que decir el método que se utiliza?

    Era Pepe Chapuzas en medio de un examen. Le dije que sí, suponiendo que se refería a los métodos de reducción, sustitución o igualación. Lo que no me imaginaba es que no iba a plantear ningún sistema de ecuaciones...

PROBLEMA:
    En un corral de conejos y gallinas hay 62 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos animales de cada clase hay?

RESPUESTA DE PEPE CHAPUZAS:
    Voy a resolverlo por el método de los zapatos:
    Compro un par de zapatos a cada animal.
    En total son  62 · 2 = 124  patas con zapatos.
    Las patas sin zapatos,  168 – 124 = 44 , son manitas de conejo.
    Por lo tanto hay  44 : 2 = 22  conejos.
    Y el resto de animales,  62 – 22 = 40 , son gallinas.

    Pepe nunca dejará de asombrarme...

    Resuelve el siguiente problema con el "método de los zapatos":

PROBLEMA:
    En un árbol hueco se esconden hormigas y arañas. Si en total hay 45 bichos y 294 patas, ¿cuántas hormigas y cuántas arañas hay?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla le ha encantado el método de los zapatos. Es una forma intuitiva de abordar el método de reducción (que es el menos intuitivo de los métodos para resolver un sistema)...

    Profe, mire. A cada bichito le compro 6 zapatitos. Compro por tanto 45 · 6 = 270 zapatitos...
    Como las hormigas tienen 6 patitas y las arañas tienen 8 patitas, las patitas que quedan sin calzar son 294 – 270 = 24, y son patitas de araña...
    Por lo tanto hay 24 : 2 = 12 arañas...
    Y 45 – 12 = 33 hormigas.

    Inventa un problema para plantear un sistema y resuélvelo de forma intuitiva. (Que no sea de animalitos ni de patitas ni de zapatitos.)

306. SOLUCIÓN de 6. ¿Una chapuza musical?

    Pepe Chapuzas investiga las Matemáticas que hay detrás de las cosas y a veces se lleva sorpresas...

    Profe, ayer en Música nos hablaron de los armónicos. Mire, si una cuerda vibra, por ejemplo en DO, la mitad de la cuerda vibra con frecuencia doble. Es lo que se llama el primer armónico, y resulta que es el siguiente DO. Y como entre los dos DOS hay una octava entera, la distancia es de 12 semitonos.

    Yo ya me estaba perdiendo pero él seguía...

    Y un tercio de la cuerda vibra con frecuencia triple, que es el segundo armónico. Y resulta que es el segundo SOL. O sea que ahora el intervalo es de 19 semitonos.

    Al verme confuso y aturdido me hizo un dibujo para que comprendiera:

    Conté los semitonos,  12 + 7 = 19 , y dejé que continuara...

    Como las frecuencias de las notas (de la escala cromática) están en progresión geométrica, me puse a calcular la razón de la progresión...

    Si lo hago con el primer armónico, tenemos frecuencia doble y 12 semitonos, por lo tanto:

    Si lo hago con el segundo armónico, tenemos frecuencia triple y 19 semitonos, así que:

    Como ve, algo no cuadra. ¿Qué "chapuza" es esta?

    ¿Se habrán afinado los instrumentos musicales siempre de la misma manera? Investiga en Internet y se lo aclaras a Pepe.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha investigado el asunto y quiere aclarar algo.

    Profe, mire. Cuando se tocan dos sonidos a la vez, unas veces suena bien y otras no. Todo depende de sus frecuencias... Suena bien si la razón de sus frecuencias es una fracción de números pequeños. Por ejemplo un sonido y su primer armónico da 2/1 (una octava), y el primer armónico y el segundo armónico da 3/2 (una quinta perfecta). El problema está en que es matemáticamente imposible que los números 1, 2 y 3 sean términos de una misma progresión geométrica, por lo que uno de los dos armónicos no podrá afinarse perfectamente. Actualmente, de forma estándar, se afina la octava y la quinta queda ligeramente desafinada (es la conocida como afinación temperada). Antiguamente se afinaban todas las octavas y el mayor número posible de quintas (las quintas desafinadas se denominaban quintas del lobo por lo mal que sonaban).

    Demuestra que los números 1, 2 y 3 no pueden ser términos de una misma progresión geométrica.
    La quinta perfecta da una razón de frecuencias de 3/2... ¿Qué razón da una quinta temperada? ¿Y una quinta del lobo?
    En alguna ocasión se afinan las quintas y las octavas quedan ligeramente desafinadas... ¿Cuál sería entonces la razón de la progresión de las frecuencias de la escala cromática?

305. SOLUCIÓN de 5. ¡¡ Bienvenidos a la FAIN !!

    Profe, el tutor nos ha dicho que tenemos que organizar las tardes en tiempo de estudio y tiempo de ocio. Y tengo un serio problema: ¿dónde meto las Mates?

    Esa semana tocaba revisión de cuadernos y al hojear el de Pepe Chapuzas empecé a comprender su "serio problema". ¡Estaba lleno de actividades que no habíamos mandado! Más tarde me confesó que se las inventaba en su tiempo de "estudio-ocio". Aquí os copio un ejemplo:

    Los números invitados a la FAIN (Fiesta Anual Internacional de Números) no saben por qué han sido invitados. Tienen algo en común que tienen que descubrir. Este año parece fácil:

    ¿Puedes decir algunos números invitados a la FAIN y qué idiomas hablan? ¿Alguien sabe si hay algún 0 en la fiesta?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no ha encontrado ningún 0, pero sí un 1 catalán ("U"), un 2 noruego ("TO"), un 3 italiano ("TRE"), un 4 alemán ("VIER") y un 9 vasco ("BEDERATZI"). ¡Solo hay que contar el número de letras del nombre de cada número! Sigue buscando, seguro que en la fiesta hay más invitados...

304. SOLUCIÓN de 4. Una trompeta para pintar

    A Pepe Chapuzas le fascina el infinito. Le encanta jugar con él en arriesgadas piruetas. Un día se tropezó con una "paradoja":

    Profe, he calculado el área entre media rama de hipérbola y su asíntota (era el ejercicio 44 de la unidad) y me sale infinita. Si quisiera pintar esta superficie necesitaria infinita pintura, y saldría infinitamente caro, ¿verdad?



¡OJO! Las unidades están en decímetros

    Pero si giro este trozo de hipérbola alrededor de la asíntota tengo una especie de trompeta. Mire cuál sería su capacidad (problema 45):

    ¡Menos de 3,1416 litros! ¡En casa tengo una lata de 5 litros! ¿Podría pintar la superficie del principio si la meto en mi trompeta llena de pintura? ¡Sería superbarato!

    ¿Quién puede contestar a Pepe? ¿Quién descubrió la "trompeta para pintar" mucho antes que Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se podía imaginar una trompeta ilimitada... Si pudiera imaginársela la podría dibujar en su cuaderno... pero para esta trompeta... ¡necesitaría un papel ilimitado e ilimitado tiempo para poder dibujarla... además de una cantidad ilimitada de lapiceros! Además había más pegas...

   Profe, mire. La hipérbola se aproxima a su asíntota cada vez más, de modo que tarde o temprano las moléculas de pintura no cabrían por la parte estrecha de la trompeta. Así que solo se puede llenar de pintura una parte acotada de la trompeta... Por otro lado para pintar el área entre la hipérbola y su asíntota necesitaríamos una capa de pintura de un grosor de al menos una molécula de pintura, por lo que el área totalmente pintada (con infinita pintura) no cabría por la parte estrecha de la trompeta que es más delgada que una molécula de pintura... La paradoja no es tal. Lo que ocurre es que los límites son a veces incompatibles con el mundo real. ¡No podemos hacer que la materia tienda a 0 (no podemos adelgazar la pintura cuanto queramos)...! Por cierto, la trompeta para pintar la descubrió Torricelli.

    La lógica de Nina no tenía nada que reprochar... ¿O sí...? Puede haber áreas infinitas dentro de volúmenes finitos como puso de manifiesto Torricelli con su trompeta. No podemos olvidar que el área es una magnitud bidimensional y el volumen es una magnitud tridimensional...

    Si tienes alguna objeción a la solución de Nina no dudes en comentarla.
    Reescribe los cálculos del área y del volumen que hizo de Pepe con la notación habitual de los límites (con la abreviatura "lim").

303. SOLUCIÓN de 3. Euler en entredicho

    Para Pepe Chapuzas lo peor de las Matemáticas es que sean "tan dogmáticas". De hecho, siempre está intentando encontrar "fallos" a los grandes matemáticos. Un día me salta con esta:

    Profe, donde vivo no funciona "lo de Euler", lo de que CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 2. He probado con pirámides, prismas, el icosaedro, el dodecaedro, y hasta con mi balón de fútbol..., y funciona, pero con mi bloque de pisos mire lo que pasa (¡ojo!, la planta del edificio, que no se ve, es como el tejado):

    4 caras a la calle, 4 al patio, 4 arriba y otras 4 abajo, en total 16 caras.
    8 vértices arriba y otros 8 abajo, en total 16 vértices.
    12 aristas arriba, otras 12 abajo y 8 más verticales, en total 32 aristas.
    Así que tenemos CARAS + VÉRTICES − ARISTAS = 16 + 16 − 32 = 0.
    ¡Vaya Chapuza!¡No funciona!

    ¿Se equivocó Euler? Busca información en Internet y cuéntanoslo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo a clase dos poliedros de plastilina: uno tenía dos túneles y el otro tenía tres... He intentado dibujar el de dos túneles:

    Profe, mire. El bloque de pisos donde vivimos tiene un túnel: el patio... Yo creo que la fórmula de Euler solo vale para poliedros sin túneles... Aquí he traído un bloque con dos patios y otro con tres patios. He calculado CARAS + VÉRTICES – ARISTAS para ambos poliedros y me sale –2 y –4 respectivamente... Yo creo que a la fórmula de Euler le falta algo... ¿Qué le parece esta fórmula nueva?

CARAS + VÉRTICES – ARISTAS + 2 · TÚNELES = 2 

    A todo esto, cuando vi por primera vez la fórmula de Euler me dije... ¿Pero no quedamos que no se podían sumar peras con manzanas? ¿Y caras con vértices sí?

    ¿Funcionará la fórmula de Nina para poliedros con muchos túneles?

    Si quieres saber más sobre de este asunto, investiga acerca de la llamada característica de Euler... y me cuentas lo que averigües.



302. SOLUCIÓN de 2. Ruffini para todo

   Pepe Chapuzas no tiene solución, y si no, mirad cómo resolvió el siguiente límite:

    El resto no lo entendí, así que, por supuesto, tuvo que explicármelo:

    Profe, yo empecé sustituyendo las  x  por  − ∞ , luego hago las potencias, y me atranqué porque me salía una indeterminación. Hasta que me acordé del teorema del resto, ese que dice que da igual sustituir las  x  por  a , que el resto de dividir entre  x – a , es decir "lo de Ruffini", ya sabe, y eso es lo que hice. Al final me salió  − ∞ .

    Me quedé perplejo. ¡Nunca había visto tamaña chapuza!
    ¿Funciona el método de Pepe para todos los polinomios, con   − ∞  y con  + ∞  ?
Intentad darme una explicación.

    En clase habéis utilizado la regla de Ruffini con el teorema del resto y en la factorización de polinomios. Pero hay más... En este enlace podrás ver otra aplicación de la regla de Ruffini:

                                                              Sistema Binario

    Hasta pronto.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. El método de Ruffini es equivalente al algoritmo de Horner (que hemos visto en Informática) para calcular el valor numérico de un polinomio. Y de esta manera desaparece la indeterminación "infinito menos infinito"...

    La explicación de Nina Guindilla me pareció tan satisfactoria como... escueta por decirlo de alguna manera...

    Explica el algoritmo de Horner y aclara por qué es equivalente a la regla de Ruffini.
    Si conoces otra forma de eliminar la indeterminación "infinito menos infinito" de los polinomios coméntala con ejemplos.
    Busca más aplicaciones de la regla de Ruffini y compártela con todos.

301. SOLUCIÓN de 1. Divide y vencerás

    Pepe Chapuzas era un alumno con la "rara" habilidad de hacer a veces difícil lo fácil. Aquí tenéis un ejemplo:

    En un examen de contenidos mínimos le propuse la siguiente división:


    Y esta fue la chapuza de respuesta:

    Le pedí explicaciones de lo que había hecho y esta fue su contestación:

    Profe, me equivoqué en la primera cifra, me quedé corto, pero seguí adelante:
    Tengo 15 que entre 3 tocan a 4, ahora 4 por 3 dan 12, y del 12 al 15 van 3.
    Bajo un 0 para sacar decimales, tengo 30 que entre 3 tocan a 9 porque solo puedo poner una cifra, ahora 9 por 3 dan 27, y del 27 al 30 van 3.
    Bajo otro 0, tengo otra vez 30 que entre 3 tocan otra vez a 9, y como ve me salió un número periódico...
    Pero bueno, "casi" acierto, ¿verdad? ¿Qué nota me va a poner?

    Lo único que le dije es que firmara el examen porque se le había olvidado.

dibujos hechos con Paint por el autor

    Si la división valía 1 punto del examen, ¿tú qué nota le pondrías? Razona la respuesta.

SOLUCIÓN

    Cuando Nina Guindilla vio lo que había hecho Pepe se rascó la cabeza... Me pidió que no fuera demasiado severo con él porque al fin y al cabo el resultado era "casi" correcto. Me entregó el siguiente escrito:

    Profe, la regla de la división que obliga que los restos tienen que ser menores que el divisor es demasiado "exigente"... Si relajamos la condición sustituyendo "menores" por "menores o iguales" se pueden obtener resultados "casi" correctos... Yo le pondría a Pepe "casi" la nota máxima: un 0,99999...

    Hice caso a Nina...

    Expón diversas maneras para convencer a Pepe y a Nina de que los "casis" sobran ya que 0,99999... = 1 y 4,99999... = 5. (Primero tienes que estar convencido tú de que son números iguales.)

300. Palabras con número

    Pepe Chapuzas estaba escribiendo en su cuaderno crucigramas de palabras con número. Eran palabras como TRICICLO, QUINCEAÑERA, QUINTILLIZO, CIEMPIÉS o MILENRAMA. Aquí tenéis uno de esos crucigramas:

    Los números ocultos en las palabras no son siempre tan evidentes...

    Busca los números que esconden las palabras del crucigrama de Pepe.
    Busca la etimología de las palabras CEUTA, SIESTA, HECATOMBE, AMARRACO, TRÉBOL, TETRAMORFOS, HEBDOMADARIO, CUARESMA, PENTECOSTÉS, AJEDREZ, TESELA y CENTURIÓN. Son palabras con número.
    Busca más palabras con número y disponlas en un crucigrama en tu cuaderno. Por cierto, CUADERNO es otra palabra con número....

299. Los carritos del supermercado

    Profe, mire. Ayer estuve en el supermercado y había dos filas de carritos encajados. Como no tenía la moneda apropiada no pude coger ningún carrito... pero esa es otra historia. El caso es que me puse a medir las filas de carritos encajados. De las dos filas, la primera tenía 10 carritos y medía 2,9 metros de longitud y la segunda tenía 20 carritos y medía 4,9 metros de longitud... ¿Alguien me puede decir cuánto medía cada carrito? 

    ¡Qué cosas tan raras hace Pepe Chapuzas en el supermercado! En fin, responde a la pregunta de Pepe y que no se te olvide la moneda para el carrito...

298. Un semicírculo tricolor

    Si el área roja mide 60 centímetros cuadrados, ¿cuánto mide el área amarilla?

    Pepe Chapuzas le ha propuesto este reto a su clase... y ahora te lo propongo yo a ti...
    Resuélvelo y me mandas la solución bien explicada... y te llevarás un positivo.

297. Cono doble

    Había propuesto un problema de Geometría en el que aparecía una especie de cono doble. Era una doble ampolla formada por dos conos idénticos: uno boca arriba y otro boca abajo. Los conos estaban herméticamente cerrados, unidos por el vértice exteriormente pero interiormente incomunicados entre sí, y contenían ambos la misma cantidad de un brillante líquido azul. En un dibujo mostré los datos y la incógnita que había que calcular... Algunos alumnos se quejaron enseguida de que faltaban datos, pero Pepe Chapuzas se puso manos a la obra y concluyó en un santiamén...

    ¡Atrévete a resolverlo!

296. Esferoides...

    Como aplicación de la integral definida estábamos calculando volúmenes de sólidos de revolución. Pepe Chapuzas puso su granito de arena:

    Profe, mire. Si giro una elipse alrededor de su eje mayor obtengo una especie de balón de rugby, pero si giro la elipse alrededor de su eje menor obtengo una especie de ovni...

    Había que llamar a estos objetos por su nombre: eran esferoides (o elipsoides de revolución). Maticé con apellidos: el primero era el esferoide oblongo y el segundo el esferoide oblato... A Pepe se le ocurrió el siguiente problemilla:

    Calcula la excentricidad de una elipse sabiendo que al girarla alrededor de sus ejes el volumen del esferoide oblato es el doble del volumen del esferoide oblongo...

    Gira y gira la elipse y calcula su excentricidad.

295. Inversos...

    Hay alumnos que se desesperan si los ejercicios y problemas no son inmediatos y abandonan su resolución si tienen que pensar más de dos minutos... No es el caso de Pepe Chapuzas. Pepe es capaz de derrochar su tiempo para resolver un problema de varias maneras... El siguiente lo resolvió de cinco formas diferentes. Había que representar en la recta real, utilizando regla y compás, el inverso "b" de un número real "a", es decir, b = 1/a. Aquí se esbozan las cinco soluciones de Pepe... Justifícalas, y si sabes de otra solución diferente, añádela.

Primera solución

Segunda solución

Tercera solución

Cuarta solución

Quinta solución

294. De cinco en cinco

    Pepe Chapuzas había salido elegido delegado de su clase tal como se apreciaba en el recuento de votos:



    Había obtenido 17 votos... Pepe estaba contento pero intrigado observando detenidamente la pizarra. Nunca antes se había parado a pensar en la forma tradicional de apuntar los votos, de cinco en cinco, y me preguntó si se haría así en todas partes... Le propuse que lo investigara por su cuenta... Al día siguiente traía tres ejemplos en pósteres para decorar el aula con el título de "Numeración quinaria".

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    Los pósteres eran más interesantes que bonitos...
    Busca más ejemplos de numeración quinaria y los expones en clase.

293. La elipse del jardinero

    Estábamos en el patio trazando una elipse con el método del jardinero... Habíamos clavado dos estacas en el suelo y atado a ellas los extremos de una cuerda. (La longitud de la cuerda era mayor que la distancia entre las estacas.) Y deslizábamos una tercera estaca a lo largo de la cuerda en tensión realizando un surco en el suelo: la elipse. En un cierto momento de este proceso Pepe Chapuzas gritó:

    ¡Alto! ¡La cuerda forma aquí un ángulo recto!

    Cuatro veces detuvo Pepe el trazado de la elipse para comentar lo mismo... Y debió de darle vueltas al asunto porque al regresar a clase insistió en ello:

    Profe, no en todas las elipses la cuerda tensada puede formar ángulos rectos, ¿verdad? Yo creo que esto depende de su excentricidad...

    Dejo que lo penséis. Contadme lo que averigüéis...

292. Una razón irracional

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de √2. Le recordé que √2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que √2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...

    Si √2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, √2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a²/b² = 2, 
y despejando, a² = 2b²,    (*) 
por lo tanto a² sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a² = 4c²,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b²  = 4c², y despejando, b²  = 2c², 
y por lo tanto b² sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, √2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que √3 es un número irracional.

291. El hexágono de Brianchon

    Un día me puse a hablar del terorema de Brianchon... El teorema afirmaba que si A, B, C, D, E y F eran los vértices consecutivos de un hexágono circunscrito a una circunferencia, entonces las diagonales AD, BE y CF concurrían en un punto Z.

    Pepe Chapuzas esbozó una demostración que se basaba en el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia... ¿Te atreves tú?

290. ¿De naranja o de limón?

    Pepe Chapuzas os invita a un problema de lógica. Es un problema muy antiguo. Todo un clásico...

    Hay tres bolsas de caramelos. En una se indica NARANJA, en otra LIMÓN y en la tercera NARANJA Y LIMÓN. En una bolsa hay 100 caramelos y son todos de naranja, en otra hay 100 caramelos y son todos de limón, y en la tercera bolsa también hay 100 caramelos de los que 50 son de naranja y 50 son de limón. Todo estaría claro si no fuera porque ninguna bolsa se corresponde con su contenido. Basta sacar un caramelo de una bolsa para saber el contenido de las tres. ¿Cómo?

    Resuelve el problema razonadamente...

289. Doblando el papel de regalo

    Profe, mire. Tengo un cuadrado de papel de regalo.. Es azul por un lado y rojo por el otro. He doblado una esquina de modo que ahora se ven una zona azul en forma de ele y una zona roja en forma de triángulo rectángulo isósceles... Ambas zonas tienen la misma área... Si la ele tiene una anchura de 10cm ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo rectángulo?

    Pepe Chapuzas está preparando regalos... con Matemáticas...
    ¿Cuánto mide la hipotenusa?

288. El teorema de Marden

    A Pepe Chapuzas le apasionan los resultados en los que se mezclan distintas partes de las Matemáticas... Por ejemplo, la identidad de Euler:

    Así que un día le hablé del teorema de Marden...
    Empecé con Gauss: que demostró que un polinomio complejo de grado N tenía exactamente N raíces (teorema fundamental del Álgebra); y que representó los números complejos como puntos de un plano (el plano de Gauss).
    Después seguí con Steiner: que resolvió el problema de encontrar la elipse de mayor área inscrita en un triángulo, que resultó ser la que pasa por los puntos medios de los tres lados (la inelipse de Steiner.)
    Y así llegué a Marden: que cogió un triángulo en el plano de Gauss y un polinomio complejo de tercer grado de modo que las raíces de este fueran los vértices de aquel, y descubrió que las raíces de la derivada del polinomio eran los focos de la inelipse de Steiner (teorema de Marden).

 

    Pepe no podía disimular su asombro... Se puso a garabatear en su cuaderno y al cabo de un rato me comentó:

   

    Profe, mire. La raíz de la segunda derivada del polinomio cae en el baricentro del triángulo... y el centro de la inelipse de Steiner también...

    Demuestra lo que ha dicho Pepe y me lo mandas... pero sin garabatos.

    Si te resulta difícil imaginarte polinomios con coeficientes imaginarios, supón que son reales. En tal caso...

    a) El triángulo no puede ser escaleno... ¿Por qué?

    b) ¿Cuándo será equilátero el triángulo?

    c) ¿Cuándo serán reales y cuándo imaginarios los focos de la inelipse de Steiner?