42. Portadas con humor

    En las portadas del cuaderno de Pepe Chapuzas se entrevé su humor. Esta es la del tema de números irracionales...

    Inventa o busca algún dibujo que te resulte gracioso para ilustrar algún tema del curso y me envías la imagen, indicando la fuente, por correo electrónico.    

41. Triángulos pitagóricos

   Un día, como tantos otros en clase de Mates, volvió a aparecer el teorema de Pitágoras, y en particular, el triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. Recordé que un triángulo rectángulo era pitagórico si los tres lados medían números naturales, y que precisamente este, el de lados 3,4 y 5, era bien conocido y utilizado en la antigüedad, porque la denominada cuerda de doce nudos se utilizaba para trazar ángulos rectos mucho antes de que naciera Pitágoras:

    Miré a Pepe Chapuzas, que siempre tiene alguna pregunta que hacer..., y no me equivoqué.

    Profe, ¿existe algún plano que determine tres triángulos pitagóricos con los planos coordenados?

    Le contesté que había infinitos y que el primero fue descubierto por un matemático alemán llamado Paul Halcke en 1719.

    Halla la ecuación canónica (o segmentaria) del plano que descubrió Halcke. Como datos te doy las hipotenusas de los tres triángulos pitagóricos.

    ¡Ánimo! Espero la solución.

40. Las recetas de Pepe Chapuzas...

    Profe, gracias a las calificaciones, si algo hemos aprendido a hacer bien, por la cuenta que nos trae, ha sido calcular las medias:

    Pepe Chapuzas no solo ha dado en el clavo sino que con el concepto de media ha asimilado algunas fórmulas de Estadística, Combinatoria y Probabilidad como se observa en las siguientes "recetas" apuntadas en su cuaderno:

    COVARIANZA. Calcular la media de los productos menos el producto de las medias:

    NÚMERO TRIANGULAR. Calcular la media aritmética entre un número y su cuadrado:

    PROBABILIDAD TOTAL. Calcular la media ponderada de las verosimilitudes...

    Y como estas hay un montón en el "recetario" chapucero de su cuaderno. Te propongo tres actividades:

    1. Escribe una "receta" para calcular la desviación típica y simplifica su fórmula al estilo de Pepe Chapuzas.
    2. ¿Por qué los número de fichas del dominó (28) y del dominó cubano (55) son números triangulares? ¿Por qué crees que se llaman triangulares estos números?
    3. ¿Cuáles son los "pesos" en el teorema de la probabilidad total desde el punto de vista de Pepe Chapuzas?

    Envíame las respuestas en un documento por correo electrónico. Nos vemos.

39. El Templo de las Luces

    Así llamaban al templo porque tenía una luz por cada día del año. Las luces, que no se fundían nunca, estaban numeradas del 1 al 365 (366 los años bisiestos) y cada una tenía un pulsador. Cuando se apretaba el pulsador, esa luz se encendía si estaba apagada o se apagaba si estaba encendida.
    El templo se inauguró el primer día del año con el encendido de todas las luces.
    El segundo día del año se apretaron los pulsadores de las luces 2ª, 4ª, 6ª, 8ª, 10ª, etc.
    El tercer día del año se apretaron los pulsadores de las luces 3ª, 6ª, 9ª, 12ª, 15ª, etc.
    El cuarto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 4ª, 8ª, 12ª, 16ª, 20ª, etc.
    El quinto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 5ª, 10ª, 15ª, 20ª, 25ª, etc.
    Y así sucesivamente cada día del año...
    ¿Cuántas luces y cuáles quedarán encendidas el último día del año?

    Este Pepe Chapuzas y sus retos...
    Resuélvelo. Espero tu comentario con la solución correcta.

38. Misterios de la derivada

    Profe, cuando hablamos de "esfera" unas veces nos referimos a la esfera maciza y otras a la superficie esférica. Para el equivalente en dos dimensiones tenemos dos palabras: círculo y circunferencia. Creo que los matemáticos tienen muy poca imaginación... o son unos chapuzas. Por cierto, si derivamos el área del círculo respecto del radio nos sale la longitud de la circunferencia, y si derivamos el volumen de la esfera nos sale su área. ¿Es una casualidad? Yo no lo creo...

    Le contesté a Pepe Chapuzas que no era una casualidad, y que cuando supiera algo más de las derivadas lo entendería perfectamente.
    Busca en Internet una explicación y le desvelas a Pepe este misterio.

37. Sopa de guarismos

    Pepe Chapuzas disfruta resolviendo pasatiempos matemáticos, pero más cuando es él quien los prepara para sus compañeros. Aquí tenéis el último que se ha ingeniado:

    Busca números capicúas en la siguiente sopa. (Por supuesto no valen los que tienen solo una cifra ni los que estén contenidos en otro número capicúa más largo). ¿Cuántos hay?

    ¡A por los capicúas! ¡Y no olvidéis que pueden aparecer en horizontal, en vertical y en diagonal!

36. Números para una exposición

    Profe, he recopilado números de distintos lugares y de distintas épocas, y estoy haciendo un álbum. Mire estos:

    Me gustó la idea de Pepe Chapuzas y le animé para hacer una exposición en el aula, a lo que accedió encantado. La exposición fue todo un éxito, pero al segundo día algún compañero "bromista" se llevó los títulos de las láminas y Pepe, molesto, se negó a poner títulos nuevos.
    Busca en Internet y pon tú los títulos, indicando de qué sistemas de numeración se trata y las cantidades que representan.

35. El gato del tangram

    Pepe Chapuzas es un virtuoso del tangram. No se le resiste ninguna figura. En su cuaderno de papel cuadriculado siluetea chapuceramente sus favoritas, como la del gato tumbado.

    El otro día se conmovió con la biografía de G. A. Pick, matemático austríaco de origen judío que murió en el campo de concentración nazi de Theresienstadt (hoy Terezin, Chequia), y como homenaje ha propuesto a sus compañeros que calculen, con la fórmula de Pick, el área que ocupa en su cuaderno el gato del tangram.
    Busca en Internet la fórmula de Pick y calcula esta área teniendo en cuenta que la separación entre puntos es de 1cm y que los puntos del borde de la figura no se ven.
   

34. De hexaminós y octamantes

    Profe, mire la página de los poliedros regulares... ¡Qué feos que son los desarrollos del hexaedro y del octaedro del libro de este año! Los del año pasado me gustaban más.


HEXAMINÓ                                  OCTAMANTE

    No sé si Pepe Chapuzas se refería al color o al tamaño... Pues ni lo uno ni lo otro, se refería a la forma, es decir, a la disposición de los cuadrados y de los triángulos. Entonces le comenté que los desarrollos del hexaedro eran hexaminós (recortables reversibles con 6 cuadrados adosados) y que los desarrollos del octaedro eran octamantes (recortables reversibles con 8 triángulos equiláteros adosados).
    Aunque hay muchos hexaminós y octamantes diferentes, solamente 11 hexaminós son desarrollos del hexaedro y solamente 11 octamantes son desarrollos del octaedro. Descubre estos desarrollos y dibújalos, ¡a ver si los consigues todos!, y envíamelos por correo electrónico. (¡Ojo! Solo hay 11 de cada. Al ser reversibles, se les puede dar la vuelta y obtenemos sus simétricos, que no cuentan).

33. Los secretos de las estrellas

    Los dibujos del cuaderno de Pepe Chapuzas no son solo ornamentales. Son reglas nemotécnicas o, como dice Pepe, son estrellas con secreto. Mirad las tres estrellas de la contraportada... Y oíd la explicación de Pepe...

    La primera me da el orden de los sostenidos (fa do sol re la mi si) y los bemoles (si mi la re sol do fa) en las armaduras musicales a partir de la escala. La segunda me clasifica los colores en primarios (rojo amarillo azul) y secundarios (verde violeta naranja) a partir del arco iris (sin el añil). La tercera me da el orden de las antiguas esferas celestes (Luna Mercurio Venus Sol Marte Júpiter Saturno) a partir de los días de la semana.

    Busca una estrella y descubre su secreto.

32. ¡Buena puntería! ;-)

    A Pepe Chapuzas también le gustan las novelas policíacas. Lo mejor es que a veces se inventa un relato para detectives matemáticos. Y si no os lo creéis aquí os presento su último caso:

    Siempre me llamó la atención aquella pared agujereada del mesón... El mesonero cuenta una historia diferente cada día sobre el origen de los enigmáticos agujeros para entretener a una fiel clientela tan expectante como incrédula... Esa tarde, al parecer, los famosos agujeros los produjeron las balas que acabaron con el Cojo... Al final, resultó que el Cojo era un triángulo escaleno de malísima reputación... El caso fue que una noche, en un ajuste de cuentas, al Cojo le descerrajaron cuatro tiros en sus puntos notables: el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro... La historia acabó en discusión entre el público acerca de cuál agujero correspondía a cada "centro"...

    Haz de detective matemático y danos una opinión justificada del asunto.

31. El ojo de Horus

    A Pepe Chapuzas le interesan muchas y variadas disciplinas. Por ejemplo, la Música y la Egiptología. Y en cuanto encuentra una relación matemática la anota (más bien la dibuja) en su cuaderno. En este sentido su cuaderno es un tesoro. Os muestro algo que me llamó la atención.

    Indagad en Internet y averiguad qué relación hay entre las partes del ojo de Horus y las figuras musicales.

30. Reto navideño

    Pepe Chapuzas ha propuesto un reto para Navidad. Pero por ser Navidad dice que es voluntario:

    Descompón en factores primos los números de este árbol de Navidad. El primero, claro, no se puede, y el último lo pongo aquí porque es muy difícil: 999999999 = 3 x 3 x 3 x 3 x 37 x 333667. Para los demás se puede consultar la lista de números primos de la Wikipedia.

    Ánimo, y que no te den las uvas. Y que aunque sea voluntario, el que lo haga tendrá regalito de Navidad...

28. Los cuatro cuatros

    Pepe Chapuzas disfruta con los acertijos matemáticos. Devora los libros de acertijos, como el titulado "El hombre que calculaba" de Malba Tahan. Luego modifica ligeramente los enunciados y se los propone a sus compañeros. Un día los retó con el siguiente ejercicio:

    ¡A ver quién consigue los números del 0 al 9 con exactamente cuatro cuatros y con las cuatro reglas: sumar, restar, multiplicar y dividir! ¡Ah, y sin paréntesis! (Para ello hay que indicar las divisiones como fracciones.) ¡Ah, y puede haber varias soluciones para cada número! Por ejemplo:

    Considérate compañero de Pepe Chapuzas y acepta el reto. (Envíame la solución en un documento por correo electrónico.)

27. Goniómetro, escuadra y cartabón

    En estas herramientas de dibujo se esconden tres números irracionales: π, √2 y √3.

    Para π = 3,14159265... los antiguos griegos utilizaban la aproximación 377/120 y los antiguos chinos 355/113. ¿Cuál era mejor?
    Pepe Chapuzas dice que ha encontrado las mejores aproximaciones de π, √2 y √3 con fracciones de números de tres cifras. ¿Quién se atreve a desafiar a Pepe?
   Os propongo la siguiente competición: Buscad las fracciones de Pepe. Ganarán los que más se aproximen.

26. Multiplicar a la rusa

    Profe, me gustan las cosas rusas. Me encanta la música rusa, la ensaladilla rusa, la montaña rusa...

    Le pregunté a Pepe Chapuzas si también le gustaba la multiplicación rusa. Y debió de quedar muy intrigado porque al día siguiente vi en su cuaderno unas cuantas multiplicaciones a la rusa. ¡Se había informado en Internet!:

    Profe, los campesinos rusos no sabían las tablas de multiplicar y sin embargo multiplicaban números de varias cifras. Solo tenían que saber sumar y calcular dobles y mitades. Mire:

    Infórmate también tú de cómo se hace, multiplica a la rusa dos números de tres cifras, comprueba que es correcto el resultado y me explicas paso a paso cómo lo has hecho.

25. Mate-mágicas

    Para Pepe Chapuzas, las Matemáticas tienen un poco de magia... ¡O un mucho!

    Profe, hemos visto en una exposición un grabado de Alberto Durero titulado "Melancolía" donde aparecen objetos relacionados con las Matemáticas: un poliedro, un compás, una esfera..., ¡y un cuadrado mágico! Es mágico porque si sumamos las filas, las columnas, las diagonales, las esquinas, etc., ¡siempre sale 34!

    Por otro lado, el otro día me tropecé con el número mágico 142.857. Mire lo que pasa si calculo su doble, su triple, su cuádruple... ¡Se repiten las cifras y en el mismo orden!

    Busca en Internet otros cuadrados mágicos y otros números mágicos y los compartes con los demás.

24. Una cuestión de fuerzas

    Aquí tenéis otra historia inventada por Pepe Chapuzas. Como pista os digo que en Física acaban de explicar el movimiento circular, la velocidad angular y todo eso...

    El pirata Maldeojo tenía un ojo de cristal. Pero no era un ojo de cristal cualquiera... Con él, Maldeojo poseía un sexto sentido con el que barruntaba y distinguía el origen de todas las fuerzas que impulsaban su barco: las fuerzas que provenían de los vientos, de las corrientes marinas, de las mareas, de las olas..., y por supuesto notaba la fuerza de gravedad, porque el ojo de cristal pesaba lo suyo. Pero había dos fuerzas que nunca entendió bien del todo... y es que a Maldeojo la Física se le daba fatal.
    La primera fuerza era vertical: cuando, por ejemplo, navegaba a lo largo del ecuador hacia el este, notaba que una fuerza le impulsaba hacia arriba, como si quisiera sacar el barco del agua, y el ojo de cristal le pesaba menos; pero si navegaba hacia el oeste, la fuerza le empujaba hacia abajo, como si quisiera hundir el barco, y el ojo de cristal le pesaba más de lo normal.
    La segunda fuerza era horizontal: cuando, por ejemplo, navegaba a lo largo de un meridiano en el hemisferio norte, bien rumbo al ecuador, bien rumbo al polo, notaba que una fuerza le escoraba el barco a estribor, y el ojo de cristal se le iba hacia ese costado; pero si era en el hemisferio sur, entonces la fuerza empujaba su barco (y su fantástico ojo de cristal) a babor...

     Investiga y da una explicación razonada (y razonable) de estas fuerzas que observaba el pirata Maldeojo en sus viajes gracias a su ojo de cristal.

23. ¿Jugamos al minibillar?

    Pepe Chapuzas inventa juegos nuevos a partir de juegos tradicionales. Este que os presento es una versión reducida del billar americano.

    Hay que colocar 6 bolas de billar (numeradas del 1 al 6) en disposición triangular de modo que en cada lado del triángulo los números sumen la misma cantidad. En el ejemplo suman 10. Busca soluciones con suma 9, 11 y 12.

22. La fórmula maravillosa del tonelero

    Profe, hay una fórmula maravillosa: la de la capacidad de un tonel. Yo creía que era una chapuza de fórmula aproximada para toneleros..., pero resulta que da el volumen exacto de prismas, cilindros, pirámides (incluso truncadas), conos (incluso truncados), esferas, elipsoides (balones de rugby), casquetes de paraboloides (antenas de telecomunicación), zonas de hiperboloides (chimeneas de centrales térmicas), etc. ¿Y por qué en vez de Matemáticas no estudiamos Tonelería?

    Pepe Chapuzas se había topado con la fórmula de Simpson:  h·(A+B+4·C):6 , donde h es la altura del tonel, y A, B y C son las áreas de las secciones alta, baja y central del tonel. La fórmula sirve también para calcular muchas superficies planas (siendo entonces las secciones A, B y C longitudes de segmentos).
    Calcula los volúmenes y las áreas siguientes (comprueba que la fórmula tradicional y la de Simpson coinciden en cada caso) y envíame la solución en un documento por correo electrónico.