100. ¡Vaya par de hipérbolas!

    Aquí tenemos otro dibujo del cuaderno de Pepe Chapuzas con su correspondiente cuestión...

    Sean dos hipérbolas que comparten sus asíntotas de modo que las asíntotas separan a las hipérbolas. (Esta disposición no implica que sean hipérbolas conjugadas). Y sean E y F sus excentricidades... Demuestra que  E ² + F ² = E ² F ² .

99. Sucesos y circuitos

    Profe, mire. En Tecnología estamos haciendo circuitos eléctricos. ¿Sabía que se puede explicar un suceso de un experimento aleatorio mediante un circuito con un interruptor y una lámpara? Si el suceso ocurre, se cierra el interruptor para que pase la corriente y la lámpara luce. La unión de dos sucesos es como dos interruptores en paralelo y la intersección de dos sucesos es como dos interruptores en serie. ¿Lo ve?

    Pepe Chapuzas es hábil para las "conexiones" entre materias, está claro.
    Si has entendido la relación entre sucesos y circuitos explica con estos los sucesos A∪B y A∩B.
    Dibuja los circuitos equivalentes a los sucesos A∩(B∪C)∩(D∪E∪F) y A∪(B∩C)∪(D∩E∩F).

98. Comparando esferas

    Pepe Chapuzas estaba coloreando un curioso dibujo en su cuaderno. Me recordaba vagamente una esfera armilar. Para meterme con él le comenté lo chapuza que le estaba quedando esa esfera armilar. Pepe, se defendió diciendo que solo se trataba de una esfera pequeña inscrita en un tetraedro regular inscrito a su vez en una esfera grande... Debajo había escrito unas preguntas referentes al dibujo...

    Si R y r son los radios de las esferas... ¿Cuánto vale R/r?
    Si A y a son las áreas de las esferas... ¿Cuánto vale A/a?
    Si V y v son los volúmenes de las esferas... ¿Cuánto vale V/v?

    Haz cálculos y responde razonadamente...

97. La jarra y el jarro

    Profe, mire. En casa tenemos una jarra y un jarro. Y a pesar de tener géneros gramaticales diferentes (caprichos lingüísticos de mi familia) le puedo asegurar que son iguales en todo: en forma, en peso y hasta en color. Solo difieren en el uso. Ella es para el agua fría y él para el aceite de oliva. Ayer llené la jarra y el jarro hasta el borde y los pesé. La jarra llena de agua pesaba 2,40 kg, pero el jarro lleno de aceite solo pesaba 2,22 kg. ¿Cuánto pesan la jarra y el jarro vacíos?

    Os traslado la pregunta. No os olvidéis de buscar la densidad del aceite (de oliva, por supuesto).

96. La cuerda de la vaca

    Como problema del mes Pepe Chapuzas ha pinchado en el tablón el siguiente...

    Un granjero tiene un campo de heno. Es de forma cuadrada, tiene media hectárea de superficie y está vallado. Deja pastar allí a una vaca pero solo en la mitad del campo, para lo cual, la ata a una estaca bien clavada en el suelo. Calcula la longitud de la cuerda si la estaca está...
    a) ...en el centro del campo.
    b) ...en un vértice del campo.
    c) ...en el punto medio de un lado del campo.

    Resuélvelo y me mandas la solución.

95. Iván el haragán

    Uno de los divertimentos de Pepe Chapuzas era buscar cuentos con problemas matemáticos. Hay muchos en todo el mundo. El último dice que es una leyenda rusa que encontró en Internet...

   Iván el haragán estaba sesteando junto al puente que cruzaba el río. Estaba recordando el refrán "si quieres patrimonio, pacta con el demonio" cuando se le apareció el mismísimo Satán en persona.
Satán, que sabía lo que Iván pensaba, le propuso una forma fácil de conseguir patrimonio: solo tenía que cruzar el puente. Cada vez que lo cruzara, el número de monedas que llevara en la bolsa se duplicaría. Satán solo le pedía a cambio que cada vez que cruzara el puente le diera 8 de sus monedas... Iván no se lo pensó dos veces. Echó a correr por el puente y cuando llegó a la otra orilla comprobó que la bolsa tenía el doble de monedas. Le dio las 8 monedas prometidas a Satán y volvió a cruzar el puente y lo que le dijo Satán seguía cumpliéndose. Pagó otras 8 monedas y cruzó por tercera vez... y lo mismo... Entonces, cuando Iván se disponía a cruzar el puente por cuarta vez se percató de que ya no le quedaban monedas... Quiso protestar pero Satán ya había desaparecido sin dejar rastro... ¿Cuántas monedas tenía al principio Iván en la bolsa?

    Resuelve el problema planteando una ecuación.

    Y si encuentras algún cuento con algún problema interesante nos lo cuentas, ¿vale?

94. Induciendo, que es gerundio

    Había propuesto una demostración por inducción. Se trataba de probar la fórmula que da el máximo número de regiones en que n rectas pueden dividir un plano.

    Pepe Chapuzas entendió muy bien el proceso de inducción como bien se aprecia en la demostración que hizo. Como punto de partida se consideraba sabido que el máximo número de regiones se obtenía si todo par de rectas tenía uno y solo un punto común y tal punto de intersección era distinto para cada par de rectas...

    Profe, mire. Para el caso n=1, o sea, con una recta, es evidente, pues (1²+1+2)/2 = 2 regiones.
    Para n>1 suponemos que la fórmula es cierta para n−1 rectas. Al añadir una nueva recta en las condiciones del enunciado, esta recta cortará a las rectas anteriores en n−1 puntos. Estos n−1 puntos dividen a la nueva recta en n trozos (segmentos y semirrectas). Y cada trozo divide una región del plano diferente, por lo que aparecen n regiones más que hay que sumar a la hipótesis de inducción. Por lo tanto, tenemos n + [(n−1)²+(n−1)+2]/2 = (2n+n²−2n+1+n−1+2)/2 = (n²+n+2)/2 regiones, que es la fórmula que queríamos demostrar.

     Pero además, a modo de propina o añadidura, Pepe incluyó la demostración de la fórmula que da el máximo número de regiones en que n planos pueden dividir al espacio. Para obtener el número máximo de regiones, toda terna de planos debía tener uno y solo un punto común y tal punto de intersección debía ser distinto para cada terna de planos. (Para n=2, los dos planos han de ser secantes en una recta.)

    Intenta demostrar esta fórmula mediante un proceso de inducción matemática.

93. Un azulejo no tan sencillo

    Los azulejos del zócalo del aula son de diseño sencillo. Aunque Pepe Chapuzas parece ser que no opina de la misma manera:

    El que quiera comprobar que el azulejo es más complicado de lo que parece que intente calcular el área azul marino y el área azul celeste.

    ¿Quieres comprobarlo? Las curvas son arcos de circunferencia de radio 20 cm y con centros en los vértices del azulejo.

92. El diario de Pepe Chapuzas

    Profe, hace tiempo que escribo un diario en hojas sueltas. Para que no se desordenaran empecé a numerarlas: 1, 2, 3, 4, ... Ya he escrito tantas hojas que necesito números de 3 dígitos... Un día me puse a contar dígitos... Entiéndame, no contaba hojas sino los dígitos de los números que había ido escribiendo para numerarlas. Y conté 999 dígitos en total. ¿Sabría decirme cuántas hojas escritas tiene mi diario?

    Generalmente es el "profe" el que propone ejercicios al alumno pero en el caso de Pepe Chapuzas muchas veces se invierten los papeles...
    Dejo que lo penséis y me ayudéis a averiguar cuántas hojas tiene el diario de Pepe.

91. Los puentes de Chapuzalandia

    Hay un problema antiguo denominado "Los puentes de Königsberg" que no tiene solución... Basándose en él, Pepe Chapuzas ha dibujado el plano de los puentes de Chapuzalandia ;-) y ha propuesto un pasatiempo que consiste en hallar una oración con sentido yendo de letra en letra, teniendo en cuenta que hay que pasar por todos los puentes rojos una y solo una vez, y que hay que utilizar todas las letras. Un compañero le dijo: "No tiene solución", pero Pepe afirma que sí la tiene... ¿Quién tiene razón?
    Búscame un plano de los puentes de Königsberg. ¿Cómo se llama ahora la ciudad de Königsberg?

90. La carcoma intelectual

    Era una carcoma intelectual porque, literalmente, devoraba los libros. Su última "hazaña" fue taladrar "Las mil y una noches". Eran cuatro volúmenes de lujo que llevaban años ordenados en la misma estantería. Cada volumen tenía 500 hojas... La carcoma empezó en la primera página del primer volumen y terminó en la última página del cuarto volumen. Avanzó horizontalmente en línea recta y siempre en el mismo sentido... ¿Cuántas hojas taladró la carcoma?

    Pepe Chapuzas también "devora" libros. Este es un problema clásico que leyó alguna vez...
    ¿Cuántas hojas taladró la carcoma?

89. ¡Cuidado, que quema!

    Hacía frío y Pepe Chapuzas propuso un problema de mezclas calentito. Pero presta atención, viniendo de Pepe me atrevería a decir que hay gato encerrado... o escaldado...

    En un cubo de 5 litros hemos vertido 3 litros de agua a 41ºC. ¿A qué temperatura debemos verter los dos 2 litros que faltan para que la mezcla alcance los 65ºC?

88. Los números bailones

    Estaba corrigiendo un examen de Pepe Chapuzas y observé que en un ejercicio había hecho todos los pasos bien, pero a la hora de escribir el resultado, que era un número de 2 cifras, había cambiado el orden de estas incomprensiblemente...

    Profe... ¿Cuánto me va a quitar por el lapsus?... Todo iba bien pero... al final bailé las cifras...

    Le contesté que como el resultado que había escrito era un 20% mayor que la solución correcta, le quitaría el 20% de la nota del ejercicio, esto es, le di 1,2 puntos...

    ¿Qué nota total valía este ejercicio?
    ¿Cuál era la solución correcta del ejercicio?

87. Las rebajitas

    Pepe Chapuzas propuso un problemita para pillar a sus compañeros. Piénsalo bien antes de dar la respuesta:

    Empiezan las rebajas. Un comerciante anuncia en su escaparate con un enorme cartel una rebaja del 30% en todos sus productos. El comerciante es un tramposo porque el día de antes se ha encargado de modificar las etiquetas incrementando todos los precios justo el 30%. ¿Cuál es la rebajita real en este establecimiento?

86. ¿De qué color?

    Profe, dígame de qué color son las siguientes palabras. No las lea, solo dígame de qué color son...

     Tengo que reconocer que me costó leerlas, mejor dicho, no leerlas. Haz tú la prueba... Pepe Chapuzas me había puesto en un aprieto. Pero este ejercicio mental me sirvió para explicar la función recíproca. Me inventé la función  F que se podía leer "el color de la palabra". Así, con la primera palabra teníamos que F(VERDE)=ROJO porque el color de la palabra VERDE era el color ROJO evidentemente... Pues bien, la función recíproca F* se podría leer "la palabra de color". Así pues, F*(ROJO)=VERDE porque la palabra de color ROJO era la palabra VERDE. Como era un poco lioso expliqué otra forma de entender la función recíproca: consistía en cambiar la lista de palabras. La primera palabra de la nueva lista, en vez de ser la palabra VERDE en ROJO, sería la palabra ROJO en VERDE, es decir, en vez de VERDE, sería ROJO y así con todas las demás...
    Completa la nueva lista de palabras coloreadas para la función recíproca si quieres un positivo.

85. El número de Dios y el número del diablo

    Había mandado hacer un trabajo sobre el número de oro, también llamado el número de Dios, que es una constante que se encuentra con frecuencia en la naturaleza y en el arte, y por supuesto en las Matemáticas. Su nombre es Φ (se lee fi) y su valor aproximado es Φ = 1,618... Hay mucho material para buscar: hay mucha información en Internet y hay libros de divulgación enteros dedicados a este número..., así que los alumnos hicieron un buen trabajo. Pepe Chapuzas incluyó en el suyo una curiosa relación entre el número de oro y el número de la bestia, el 666, también conocido como el número del diablo, aunque no hizo ninguna demostración.

    Haz una demostración. Para ello no valen aproximaciones ni calculadoras. Tienes que buscar una definición o una expresión exacta para Φ, y una relación geométrica con el ángulo de 666º.

84. El triángulo de Pingala

    Profe, el año pasado nos explicaron el triángulo de Tartaglia y este año nos han hablado del triángulo de Pascal... ¡Y es el mismo triángulo! ¡Qué manera de confundir al personal...!

    El que replicaba era, como no, Pepe Chapuzas. Le comenté que Pascal popularizó el famoso triángulo pero Tartaglia lo usó antes. Y antes Yang Hui, y antes aún Khayyam. Por eso, el triángulo es, en Francia, de Pascal, en Italia, de Tartaglia, en China, de Yang Hui, y en Irán, de Khayyam... Pero en realidad Pingala ya lo conocía muchísimo antes en la India. Le dije que quizá debiera llamarse triángulo de Pingala... A Pepe le gustó el nuevo nombre porque empezó a utilizarlo en seguida (aunque solo entre nosotros, claro)...

    Profe, en el triángulo de Pingala están los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

     Pepe me enseñó su cuaderno: había hecho una "demostración" gráfica de que n sobre 2 era un número triangular... Le dije que el triángulo de Pingala contenía también los números tetraédricos: 1, 4, 10, 20, 35, 56... Le aclaré que estos eran la versión tridimensional de los números triangulares. Entonces le pedí que "demostrara" que n sobre 3 era un número tetraédrico, y... ¡ya lo creo que lo consiguió!
    Atrévete a "demostrarlo" tú también.

83. Un interés continuo

    Profe, entiendo el interés simple porque no es otra cosa que la fórmula del aumento. Si C es el capital inicial, R es el rédito anual y T es el tiempo en años, entonces tenemos para el capital final: C·(1+R·T).
    También entiendo el interés compuesto porque no es otra cosa que varios aumentos sucesivos: C·(1+R)^T si la capitalización es anual.
    Y entiendo que el período de capitalización sea menor que un año. Para N períodos en un año tendremos: C·(1+R/N)^N·T. Así, si la capitalización es mensual, el rédito mensual sería R/12 y el tiempo en meses sería 12·T. (Lo que no deja de ser una chapuza eso de medir el tiempo por meses ya que no todos los meses duran lo mismo).
    Pero yo creo que el interés debe capitalizarse inmediatamente, en períodos de capitalización infinitésimos (infinitamente pequeños). En tal caso habría infinitos períodos, ¿verdad? Y... ¿no es esto un límite?

    Pepe Chapuzas había resuelto solito el problema del interés continuo...
    ¡Ojo! La calculadora da para el número e la aproximación 2,718281828... pero, a pesar de las apariencias, e no es un número racional.
    Si un banco te ofreciera, por un depósito anual, un interés continuo del 8% (es decir, R=0,08) entonces... ¿Cuál sería la tasa anual equivalente (TAE)?
    (Si te ocurriera de verdad, dime de qué banco se trata).

82. Vamos a contar mentiras...

    Como el autocar de la excursión "iba despacio" los chicos empezaron a "contar mentiras". Las mentiras de Pepe Chapuzas tardaron en descubrirse:

    He recibido un valioso regalo. Se trata de un libro antiguo. Al hojear el libro descubrí cinco pétalos de rosa secos entre las páginas 19 y 20. Imaginé que las páginas para guardar los pétalos no habrían sido elegidas al azar, sino que habría algún misterioso motivo. Quizá era el año de algún evento importante: 1920. No sé... Más adelante descubrí que faltaba una hoja. Había sido arrancada de cuajo por lo que las páginas 222 y 223 no podían leerse. Era una lástima. ¿Quién habría sido?...

    Al final, los chicos descubrieron dos mentiras muy gordas en el relato de Pepe. Descúbrelas tú ahora que vamos despacio...

81. El falso exponenente

    Profe, mire. Primero nos dicen que  cos ²  es una potencia, es decir, que  cos ²x = (cos x) ² , y después nos dicen que en las calculadoras  cos ^–1  no es una potencia porque  cos ^–1x = arccos x  en vez de  1/cos x = sec x . La verdad, profe, ¡cuando hay chapuzas en Mates...! A todo esto, ¿qué sería  cos ^–3 ?

    Cuando Pepe Chapuzas tiene razón hay que dársela. Este es un ejemplo claro de una notación ambigua que es difícil de enmendar. Algunas veces se utiliza la notación  f *  en vez de  f ^–1  para evitar confusiones, y otras veces se emplea la denominación de función recíproca en vez de función inversa por la misma razón, pero el peso de la tradición...
    Calcula las funciones recíprocas de las siguientes funciones:

80. El número más matemático

    Pepe Chapuzas estaba en pleno debate. Se discutía qué número era el más matemático. Yo no sabía que los números se pudieran comparar así pero Pepe defendía que el número más matemático era el 51, aunque las razones que esgrimía no eran precisamente muy matemáticas...

    Profe, mire. En todas la bibliotecas que conozco (y conozco bastantes) las signaturas de los libros de Matemáticas empiezan por 51. Por lo tanto el 51 es el número más matemático.

    Estaba claro qué tipo de libros buscaba Pepe en las bibliotecas. Las signaturas de los libros vienen determinadas por la clasificación decimal universal (CDU). A las Matemáticas generales le corresponde el número 51 como ha dicho Pepe. Pero para las Matemáticas especializadas tenemos los números 511, 512, 514, 515, 517 y 519. Busca a qué rama de las Matemáticas corresponde cada uno de ellos y nos lo comentas.

79. La compleja realidad

    Todos los años pasa lo mismo. Los números complejos levantan muchas sospechas de falsedad. Los alumnos afrontan el tema con escepticismo e incredulidad. Aprenden a operar con ellos pero los resultados se quedan en el apartado de lo ficticio o especulativo... Pepe Chapuzas no iba a ser menos.

    Profe, esto de trabajar con cosas que se suponía que no existían: raíces cuadradas y logaritmos de números negativos... ¡Números imaginarios! Y para rizar el rizo, los números imaginarios se operan entre sí para dar otros números imaginarios o, para colmo, ¡para dar números reales! ¿Cómo es posible que i por i o que i elevado a i sean números reales? ¿Qué significa el seno de un ángulo imaginario?

    Averigua cuánto es ln (-1), cos i y iⁱ.

78. Contar o no contar...

    Pepe Chapuzas nos invita a contar... O mejor dicho..., a no contar...

    ¿Cuántas veces se repite la cifra "1" en la lista de números naturales del 1 al 1000000? ¿Cuántas veces se repite el "2"? ¿Y el "0"?

77. Doble optimización

    Hemos empezado el tema de optimización y Pepe Chapuzas está entusiasmado...

    Profe, no me imaginaba las cosas que se podían conseguir con las derivadas... Para el reto de esta semana he propuesto dos ejercicios en uno: una maximización y una minimización...
    Se trata de encontrar las dimensiones de dos conos: el de mayor volumen inscrito en la esfera y el de menor volumen circunscrito en la esfera. Los conos son rectos y de base circular y la esfera tiene de radio 1 metro. Además hay que calcular los dos volúmenes.

76. Los nenúfares asesinos

    En el cuaderno de Pepe Chapuzas hay una buena colección de problemas clásicos. Este que muestro aquí lo encontró en un libro antiguo:

    El gran estanque real estaba por fin construido y lleno de agua. Solo faltaban los nenúfares flotantes... y 17 días para la inauguración... El nenúfar preferido de la reina era el nenúfar asesino. Se llamaba así por su rápido crecimiento, pues no dejaba vivir a las demás especies de nenúfar. Un nenúfar asesino crecía tan rápido que la superficie de agua que cubría se duplicaba cada 24 horas... Los jardineros de palacio habían calculado que un solo nenúfar asesino necesitaba 4 semanas para cubrir enteramente el gran estanque real. Afortunadamente tenían 1000 nenúfares asesinos. ¿Estará cubierto del todo el gran estanque real de nenúfares asesinos el día de la inauguración?

75. Matemáticas al galope

    Hojeando el cuaderno de Pepe Chapuzas descubrí tres enigmáticos dibujos. La intriga me pudo así que le pregunté al respecto...

   Profe, mire... Como hay 64 casillas en el tablero del ajedrez, 64 hexagramas en el I Ching, y 64 caracteres en el alfabeto Braille... Pues hice un popurrí mezclándolo todo... Aunque no se trata de una casualidad, lo que ocurre es que 64 = 8² = 4³ = 2⁶... 

    El tercer dibujo sin embargo es un pasatiempos... En este tablero se esconde un famoso resultado matemático que "casualmente" tiene 64 letras. Para averiguarlo hay que ir de letra en letra saltando como un caballo en el ajedrez...

    Si tienes curiosidad, galopa sobre el tablero y me dices de qué famoso resultado se trata...

    Si tienes más curiosidad, escribe tu nombre en alfabeto Braille.
    Si aún te queda curiosidad, investiga qué significa I Ching en chino y para qué se utiliza.

74. Entre círculos

    He aquí el reto de esta semana que ha propuesto Pepe Chapuzas...

    Los campos de regadío circulares que se observan desde el avión me inspiraron este reto...
    Si la zona verde tiene un área de 1 metro cuadrado, ¿cuánto mide el área de la zona morada formada por tres círculos que son iguales y tangentes entre sí?

73. Un polinomio terrible

    Pepe Chapuzas ha propuesto desarrollar el siguiente producto de binomios. ¡Pero que nadie se asuste! La solución es mucho más fácil de lo que parece a simple vista.

72. El club de los excéntricos

    Llegaron unos cuantos alumnos, incluido Pepe Chapuzas, con una chapa en la solapa... Preguntados sobre el novedoso ornato, Pepe me aclaró que era el emblema del club de los excéntricos...

 

    Profe, mire. Para entrar en el club solo hay que resolver tres cuestiones relacionadas con el emblema...

    Como ve, se trata de dos elipses semejantes y por ello tienen la misma excentricidad. El eje mayor de la elipse menor es el eje menor de la elipse mayor... Y las tres regiones (roja, amarilla y verde) tienen la misma área...

    Primera cuestión: ¿Cuál es la excentricidad de las elipses?

    Segunda cuestión: Calcula los ángulos del rombo cuyos vértices son los focos de las elipses.

    Tercera cuestión: Demuestra que toda cuerda horizontal de la elipse mayor es partida en tres segmentos iguales por la elipse menor.

 

    ¿Quieres pertenecer al club? ¡A ver si lo consigues...!

71. Adivina adivinanza

    La semana de las adivinanzas matemáticas tuvo mucho éxito debido a la gran participación. Aquí tenéis la adivinanza de Pepe Chapuzas.

    Adivina adivinanza... En cada vértice del cubo hay bola pintada. Doy 4 colores para 4 bolas. ¿De qué colores son las otras 4 bolas y por qué?

70. Las cintas de la casamentera

    Como se acercaba San Valentín algunos alumnos han preparado actividades para la ocasión... Esta es la de Pepe Chapuzas:

    Los novios de mi pueblo van a preguntarle a la casamentera por su futuro. Esta, coge una tira larga de papel, que ella denomina cinta de amor abierta, y pega sus extremos para formar una cinta de amor cerrada...

... y después corta esta cinta de amor por la mitad a todo lo largo. El resultado después del corte depende de lo retorcida que estuviera la cinta y, curiosamente, de lo generoso de la propina... O salen dos cintas separadas, o dos cintas enlazadas o una sola cinta el doble de larga... Cada resultado tiene un significado según la casamentera: divorcio, unión o unión perfecta...
    Investiga como hay que unir los extremos de la cinta de amor para conseguir cada resultado y habrás adivinado el truco de la casamentera...

    Prueba con  cintas de papel, resuelve la actividad de Pepe, y me lo cuentas todo...

69. Una rápida resolución

    ¡Otro problema resuelto por Pepe Chapuzas sin explicaciones!

    Está claro que en este examen no se permitió la calculadora...
    ¿Entiendes lo que ha hecho Pepe Chapuzas? Si es así explícanoslo.