285. Los cubos de MacMahon

    Había propuesto un problema de Combinatoria... Había un cubo y seis colores. Y había que calcular cuántos cubos diferentes se podían conseguir coloreando cada cara de un color diferente...

   ¡Las respuestas de mis alumnos fueron todas distintas y solo había una correcta! ¿Adivináis cuál?... Sí, la respuesta de Pepe Chapuzas era 30. Se trataba de los 30 cubos de MacMahon con los que se podían plantear un sinfín de juegos y rompecabezas...

    Busca en Internet pasatiempos con los cubos de MacMahon y nos lo comentas a todos... (Hay algunos que son desafíos solo para valientes.)
    Pepe, por otro lado, ha planteado el mismo problema inicial pero coloreando caras de otros poliedros:

    ¿Cuántos tetraedros se pueden conseguir con 4 colores?
    ¿Cuántos octaedros se pueden conseguir con 8 colores?
    ¿Cuántos dodecaedros se pueden conseguir con 12 colores?
    ¿Cuántos icosaedros se pueden conseguir con 20 colores?

275. Las combinaciones con repetición o el rectángulo de Chapuzas...

    Habíamos explicado las combinaciones ordinarias y habíamos visto su relación con los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal... Vimos algunas propiedades e hicimos una tabla de valores de M sobre N.

    Al terminar la explicación comenté que este curso no íbamos a ver las combinaciones con repetición porque no estaban en el temario... A Pepe Chapuzas le debió de disgustar esto y debió de investigar lo que eran las combinaciones con repetición por su cuenta ya que al día siguiente trajo lo siguiente:

    Profe, mire: he encontrado una propiedad de las combinaciones con repetición similar a una que vimos ayer de las combinaciones ordinarias... Además me he dado cuenta de que, a diferencia de las combinaciones ordinarias que formaban en la tabla de valores un triángulo porque N era menor o igual que M (el triángulo de Pascal), en las combinaciones con repetición N puede ser mayor que M y en una tabla de valores no se formaría un triángulo sino un rectángulo (o un cuadrado)... 

    Pepe casi se quedó sin respiración... A partir de entonces denominé a ese rectángulo el rectángulo de Chapuzas...

    Investiga qué relación hay entre las combinaciones con repetición y las combinaciones ordinarias...
    Comprueba la propiedad que ha encontrado Pepe...
    Rellena el rectángulo de Chapuzas,,,

164. Los números ascendentes

    Profe, mire. En un número ascendente cada cifra es mayor que la anterior. Por ejemplo, el número 23578 es un número ascendente. Las preguntas son las siguientes. ¿Cuántos números ascendentes de 5 cifras hay? ¿Cuánto suman?

    A Pepe Chapuzas le gusta hacer de profe de Mates del profe de Mates...
    Ahora os toca hacer de alumnos... Responded razonadamente.

105. La gran suma

    Pepe Chapuzas había resuelto un sudoku en medio recreo. En el otro medio recreo calculó la suma de todos los números naturales de 9 cifras que se pueden formar con las 9 cifras (las 9 diferentes) del sudoku (el 0 no se utiliza). Cuando empezó la clase de Mates lo propuso como reto...
    Hay un positivo para quien lo resuelva.

104. El camino más corto

    Para Pepe Chapuzas cualquier tema se convierte en excusa para plantear un problema.

    Profe, mire. Para llegar al insti la gente ataja por el césped y se ha formado una veredita... ¡Si no les hubieran dicho que el camino más corto es en línea recta...! A propósito de caminos... Mire este problema de Combinatoria. Hay infinitas maneras de llegar de "a" a "b", pero... ¿cuántos caminos de 100 metros hay sin pisar el césped?

84. El triángulo de Pingala

    Profe, el año pasado nos explicaron el triángulo de Tartaglia y este año nos han hablado del triángulo de Pascal... ¡Y es el mismo triángulo! ¡Qué manera de confundir al personal...!

    El que replicaba era, como no, Pepe Chapuzas. Le comenté que Pascal popularizó el famoso triángulo pero Tartaglia lo usó antes. Y antes Yang Hui, y antes aún Khayyam. Por eso, el triángulo es, en Francia, de Pascal, en Italia, de Tartaglia, en China, de Yang Hui, y en Irán, de Khayyam... Pero en realidad Pingala ya lo conocía muchísimo antes en la India. Le dije que quizá debiera llamarse triángulo de Pingala... A Pepe le gustó el nuevo nombre porque empezó a utilizarlo en seguida (aunque solo entre nosotros, claro)...

    Profe, en el triángulo de Pingala están los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21...

     Pepe me enseñó su cuaderno: había hecho una "demostración" gráfica de que n sobre 2 era un número triangular... Le dije que el triángulo de Pingala contenía también los números tetraédricos: 1, 4, 10, 20, 35, 56... Le aclaré que estos eran la versión tridimensional de los números triangulares. Entonces le pedí que "demostrara" que n sobre 3 era un número tetraédrico, y... ¡ya lo creo que lo consiguió!
    Atrévete a "demostrarlo" tú también.

75. Matemáticas al galope

    Hojeando el cuaderno de Pepe Chapuzas descubrí tres enigmáticos dibujos. La intriga me pudo así que le pregunté al respecto...

   Profe, mire... Como hay 64 casillas en el tablero del ajedrez, 64 hexagramas en el I Ching, y 64 caracteres en el alfabeto Braille... Pues hice un popurrí mezclándolo todo... Aunque no se trata de una casualidad, lo que ocurre es que 64 = 8² = 4³ = 2⁶... 

    El tercer dibujo sin embargo es un pasatiempos... En este tablero se esconde un famoso resultado matemático que "casualmente" tiene 64 letras. Para averiguarlo hay que ir de letra en letra saltando como un caballo en el ajedrez...

    Si tienes curiosidad, galopa sobre el tablero y me dices de qué famoso resultado se trata...

    Si tienes más curiosidad, escribe tu nombre en alfabeto Braille.
    Si aún te queda curiosidad, investiga qué significa I Ching en chino y para qué se utiliza.

62. El orden de los factores...

    Profe. ¿Cuántas factorizaciones puede tener un número natural?

    Me asombró que Pepe Chapuzas me hiciera semejante pregunta. Ya habíamos explicado en clase que las descomposiciones en factores primos eran únicas para cada número natural, sin contar, eso sí, el orden de los factores... Y así se lo recordé... Entonces me enseñó Pepe en su cuaderno un dibujo de lo que parecían ser naipes de una baraja...

    Mire profe. Yo ya sé que el orden de los factores no altera el producto, pero precisamente me refiero a eso, al orden de los factores, porque a veces se puede descomponer un número natural de varias maneras.

    Pepe había ilustrado las factorizaciones con unos círculos tan chapuceros que parecían aceitunas. Viéndolos era obvio: los primos no se podían descomponer (por eso eran primos), las factorizaciones de las potencias de los primos solo se podían hacer de una manera (pues todos los factores eran iguales), y las demás factorizaciones se podían obtener de varias maneras (según el orden de los factores).

    La respuesta a su pregunta inicial era "permutaciones con repetición" pero faltaba mucho para ver Combinatoria. Al margen de esto, me gustaron tanto los dibujos de Pepe que creo que los utilizaré para introducir el tema de los fractales.

    Investiga qué son permutaciones con repetición. ¿De cuántas formas se puede obtener la factorización de 42000?
    Investiga qué son los fractales. Busca una página web sobre fractales que te llame la atención. Anota su URL.
    Dibuja los naipes correspondientes a las factorizaciones de 13, 14, 15 y 16.
   
    Espero tu respuesta por e-mail.

40. Las recetas de Pepe Chapuzas...

    Profe, gracias a las calificaciones, si algo hemos aprendido a hacer bien, por la cuenta que nos trae, ha sido calcular las medias:

    Pepe Chapuzas no solo ha dado en el clavo sino que con el concepto de media ha asimilado algunas fórmulas de Estadística, Combinatoria y Probabilidad como se observa en las siguientes "recetas" apuntadas en su cuaderno:

    COVARIANZA. Calcular la media de los productos menos el producto de las medias:

    NÚMERO TRIANGULAR. Calcular la media aritmética entre un número y su cuadrado:

    PROBABILIDAD TOTAL. Calcular la media ponderada de las verosimilitudes...

    Y como estas hay un montón en el "recetario" chapucero de su cuaderno. Te propongo tres actividades:

    1. Escribe una "receta" para calcular la desviación típica y simplifica su fórmula al estilo de Pepe Chapuzas.
    2. ¿Por qué los número de fichas del dominó (28) y del dominó cubano (55) son números triangulares? ¿Por qué crees que se llaman triangulares estos números?
    3. ¿Cuáles son los "pesos" en el teorema de la probabilidad total desde el punto de vista de Pepe Chapuzas?

    Envíame las respuestas en un documento por correo electrónico. Nos vemos.

9. Combinatoria prohibida (Bachillerato)

    Profe, ¿cuántos subconjuntos de 5 elementos hay en un conjunto 3 elementos?

    De nuevo era Pepe Chapuzas. Le dije que si solo había 3 elementos no podíamos coger 5.

    Entonces la respuesta es 0, ¿verdad?

    Le contesté afirmativamente. No sabía adónde quería llegar... Empezó a garabatear en su cuaderno...

    Mire, profe:

    Y para que la fracción se anule, tiene que ser  (–2)! = ± ∞  .

    Y lo mismo le pasaría a cualquier número negativo, es decir  (–n)! = ± ∞ .

    Ahora empezaba a entender por qué le llamábamos Pepe Chapuzas. Le comenté que sí había factoriales de números negativos, por ejemplo:

    Pepe creía que estaba bromeando..., ¡pero el resultado era cierto!
    ¿Podrías con este dato calcular  5,5! ?

    Si quieres saber más, busca información sobre la función gamma.