Pepe Chapuza estaba calculando el dominio de una función real de variable real:
F(x) = ln (x−3) + ln (1−x)
Profe, mire. Solo existen logaritmos de números positivos, por lo que ha de cumplirse
x−3 > 0 y 1−x > 0
x > 3 y x < 1
lo cual constituye una contradicción, esto es, Dom (F) = ∅. ¡Pero una función con dominio vacío no es una función! Sin embargo, si aplico las propiedades de los logaritmos tenemos que
F(x) = ln ((x−3)(1−x))
por tanto
(x−3)(1−x) > 0
1 < x < 3
por ello, Dom (F) = ]1, 3[.
¿De dónde ha salido este dominio?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla nos lo va a explicar...
Profe, mire. La propiedad de ln (AB) = ln (A) + ln (B) solo tiene sentido si los dos miembros de la igualdad existen. Y esto no ocurre con el ejemplo de Pepe... Lo que sí ocurre es
ln ((x−3)(1−x)) = ln ((3−x)(x−1)) = ln (3−x) + ln (x−1)
Nina propuso entonces calcular el dominio de esta función real de dos variables reales...
G(x, y) = ln ((x² + y² − 1)³ − x² y³)
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota planteó la inecuación H(x, y) = (x² + y² − 1)³ − x² y³ > 0.
Mire, profe. Para resolver la inecuación voy a resolver antes la ecuación
H(x, y) = 0
(x² + y² − 1)³ = x² y³
x² + y² − 1 = ∛(x²) y
y² − ∛(x²) y + x² − 1 = 0
y = ∛(x²)/2 ± √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )
Las soluciones de la ecuación son los puntos de las gráficas de las funciones reales de variable real
P(x) = ∛(x²)/2 + √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² ) y Q(x) = ∛(x²)/2 − √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )
Solo existen raíces cuadradas de números no negativos, así que ha de cumplirse
R(x) = ∛(x⁴)/4 + 1 − x² ≥ 0
∛(x⁴) ≥ 4x² − 4
x⁴ ≥ 64x⁶ − 192x⁴ + 192x² − 64
64x⁶ − 193x⁴ + 192x² − 64 ≤ 0
Hacemos el cambio de variable z = x² y planteamos la ecuación
S(z) = 64z³ − 193z² + 192z − 64 = 0
El discriminante de una ecuación cúbica az³ + bz² + cz + d = 0 es
Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²
En nuestro caso
Δ = 18·64·193·192·64 − 4·193³·64 + 193²·192² − 4·64·192³ − 27·64²·64² = −110848 < 0
por lo que el polinomio S solo se anula para un valor Z > 0 (si z ≤ 0, entonces S(z) < 0), y deshaciendo el cambio de variable, el polinomio R solo se anula en ± √Z. Como R(0) = 1 > 0 y R(−∞) = R(∞) = −∞ < 0, el dominio de P y Q es un intervalo: el entorno cerrado de cento 0 y radio √Z, esto es, Dom (P) = Dom (Q) = [−√Z, √Z]. Como P y Q son funciones pares, voy a confeccionar una tabla de valores aproximados con x ≥ 0 y a esbozar sendas gráficas...
|
x |
0 |
.1 |
.2 |
.3 |
.4 |
.5 |
.6 |
.7 |
.8 |
.9 |
1 |
1.1 |
1.2 |
|
P(x) |
1 |
1.11 |
1.17 |
1.2 |
1.23 |
1.24 |
1.23 |
1.21 |
1.17 |
1.1 |
1 |
.8 |
∄ |
|
Q(x) |
−1 |
−.89 |
−.82 |
−.76 |
−.68 |
−.61 |
−.52 |
−.42 |
−.31 |
−.17 |
0 |
.26 |
∄ |
Como H(0, 0) = −1 < 0 y H(2, 0) = 27 > 0, el dominio de G sería el plano descorazonado...
Aunque no se mencione, se ha tenido en cuenta la continuidad de las funciones...
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