Profe, mire. Sea An una matriz cuadrada de orden n (con n filas y n columnas). Si cada fila de An está formada por n términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cuánto vale |An|, (el determinante de An )?
Pepe Chapuza ha planteado este problema... ¡Resuélvelo!
SOLUCIÓN
Mire, profe. Puedo escribir los elementos de la matriz An así: aij = ai1 rij−1 .
Todos los elementos de la fila i-ésima están multiplicados por ai1 por lo que
|An|=(Π1≤i≤n ai1)|Bn|
donde Bn es la matriz de Vandermonde de orden n de elementos bij = rij−1 por lo que
|An|=(Π1≤i≤n ai1)(Π1≤p<q≤n(rq-rp))
Profe, mire. Si coinciden dos razones el determinante es nulo...
Nina Guindilla encontró la solución utilizando la fórmula de Vandermonde. ¿Has demostrado alguna vez esta fórmula: |Bn|= Π1≤p<q≤n(rq-rp)?
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota procedió con el método de inducción...
Profe, mire. Para n=1 la fórmula es trivial |B1|=1 (el elemento neutro de la multiplicación).
Si suponemos la fórmula cierta para el caso n, veamos qué pasa para el caso n+1 :
Hemos restado a cada columna la anterior multiplicada por r1, luego hemos desarrollado por la primera fila y después hemos extraído factores comunes. Ahora aplico la hipótesis de inducción
|Bn+1| = (Π2≤i≤n+1(ri-r1))(Π2≤p<q≤n+1(rq-rp)) = Π1≤p<q≤n+1(rq-rp)
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