Como aplicación de las derivadas estábamos viendo las ecuaciones de las rectas tangente t y normal n de una curva c dada por su ecuación explícita c : y = f (x) en un punto P de coordenadas P(xP, yP) ≡ P(xP, f (xP)). Suponíamos siempre la derivabilidad de las funciones que aparecían...
Profe, mire. La ecuación punto-pendiente y − yP = p (x − xP) es idónea para esta cuestión (p es la pendiente). Así la ecuación de t será t : y − f (xP) = f '(xP) (x − xP) y la ecuación de la recta normal será n : y − f (xP) = −1/f '(xP) (x − xP) ya que la pendiente de una perpendicular a una recta de pendiente p es el opuesto del inverso (o el inverso del opuesto) de p, esto es, −1/p.
Pero profe, si la ecuación de la curva viene dada en forma implícita c : F (x, y) = 0 entonces el vector normal a la curva en el punto P será v = (Fx (xP, yP), Fy (xP, yP)) , y las ecuaciones de las rectas serán
t : Fx (xP, yP) (x − xP) + Fy (xP, yP) (y − yP) = 0
n : (x − xP) / Fx (xP, yP) = (y − yP) / Fy (xP, yP)
Si combinamos las dos funciones F(x, y) = f (x) − y entonces v = (f '(xP), −1) que corrobora el valor de la pendiente de la recta normal −1/f '(xP) .
¿Cómo se obtienen las ecuaciones del plano tangente τ y de la recta normal m de una superficie σ?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla empezó con una superficie dada por su ecuación implícita σ : G(x, y, z) = 0 .
Profe, mire. El vector normal de la superficie en el punto Q(xQ, yQ, zQ) es
w = (Gx (xQ, yQ, zQ), Gy (xQ, yQ, zQ), Gz (xQ, yQ, zQ))
por lo que las ecuaciones de m y τ son
m : (x − xQ) / Gx (xQ, yQ, zQ) = (y − yQ) / Gy (xQ, yQ, zQ) = (z − zQ) / Gz (xQ, yQ, zQ)
τ : Gx (xQ, yQ, zQ) (x − xQ) + Gy (xQ, yQ, zQ) (y − yQ) + Gz (xQ, yQ, zQ) (z − zQ) = 0
¿Y si la superficie viene dada con una ecuación explícita z = g (x, y) ?
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota combinó las dos funciones G (x, y, z) = g (x, y) − z ...
Mire, profe. Ahora w = (gx (xQ, yQ), gy (xQ, yQ), −1) por lo tanto las ecuaciones son
m : (x − xQ) / gx (xQ, yQ) = (y − yQ) / gy (xQ, yQ) = −(z − zQ)
τ : gx (xQ, yQ) (x − xQ) + gy (xQ, yQ) (y − yQ) − (z − zQ) = 0
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