1630. ¡Más matemáticas!

     Muchas veces me preguntan para qué sirve tal o cual cosa que vemos en clase de Matemáticas... Y suelo contestar con las aplicaciones en la vida real o en las otras ciencias; pero siempre hago hincapíé en que las matemáticas sirven para hacer más matemáticas. Así que propuse tareas de repaso de cursos anteriores preguntando qué más matemáticas se podían hacer con los resultados. Una de esas tareas fue factorizar el polinomio

x⁵ − x⁴ − 7x³ + 11x² − 8x + 12

    Pepe Chapuza no se lo pensó dos veces:

    Mire, profe. La factorización es  (x+3) (x−2)² (x²+1) . Y se puede utilizar para descomponer una fracción algebraica en suma de fracciones simples...

    Pues eso... ¡Más matemáticas!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla escribió la siguiente fracción algebraica:

    Profe, mire. Gracias a la factorización de Pepe sabemos que esta fracción algebraica se puede descomponer de la forma

A/(x+3) + B/(x−2) + C/(x−2)² + (Dx+E)/(x²+1)

de donde

11x⁴ − 18x³ − 35x² − 46x + 50  =

=  A(x−2)²(x²+1) + B (x+3)(x−2)(x²+1) + C(x+3)(x²+1) + (Dx+E)(x+3)(x−2)²

    Si  x = −3 , 891+486−315+138+50 = 250A; A = 1250 / 250 = 5.

    Si  x = 2 , 176−144−140−92+50 = 25C; C = −150 / 25 = −6.

    Si  x = i , 11+18i+35−46i+50 = (Di+E)(13−9i); 96 = 9D+13E, −28 = 13D−9E; D = 2, E = 6.

    Si  x = 0 , 50 = 4A−6B+3C+12E = 20−6B−18+72; B = (−24)/(−6) = 4.

 

    Profe, mire. Esta descomposición se puede utilizar para integrar la fracción algebraica...

    Pues eso... ¡Más matemáticas!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota integró:

    Mire profe.

∫ (11x⁴−18x³−35x²−46x+50) / (x⁵−x⁴ 7x³+11x²−8x+12) dx =

= ∫ ( 5/(x+3) + 4/(x−2) − 6/(x−2)² + 2x/(x²+1) + 6/(x²+1) ) dx =

= 5 ln |x+3| + 4 ln |x−2| + 6/(x−2) + ln (x²+1) + 6 arctg x + C