1631. Sorpresas bajo la campana...

     Ya sabíamos que la campana de Gauss representaba la función de densidad de una distribución normal N(μ, σ) y que un área bajo la campana nos proporciona la probabilidad correspondiente a un conjunto de valores de la variable. Por ejemplo, P(μ<x<μ+σ) = 0,34134, que se puede calcular con la tabla de la normal estándar. (Están en x=μ el máximo y en x=μ±σ los puntos de inflexión de la campana.) A Pepe Chapuza se le ocurrió lo siguiente...

    Profe, mire. Hay muchas funciones que tienen una gráfica acampanada. Por ejemplo:

    ¿Cuánto mide el área bajo esta campana entre el máximo y el punto de inflexión de la derecha?

    ¡Tocad la campana! Os espera una sorpresa...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó ubicando el máximo y los puntos de inflexión de f... 

    Profe, mire. En el máximo se anula la primera derivada y en los puntos de inflexión se anula la segunda derivada...

f (x) = (1+x²)⁻¹

f ' (x) = −2x (1+x²)⁻²

f " (x) = −2 (1+x²)⁻² + 8x² (1+x²)⁻³

    Obviamente, f ' se anula en x= 0. Y f " se anula si...

−2 (1+x²) + 8x² = 0

6x² −2 = 0

x = ±√3/3

    El área buscada es la del trapecio mixtilíneo...

ʃ ₀^√3/3 f(x) dx = arctg(√3/3) − arctg(0) = π/6

    ¡Qué sorpresa! ¡Bajo esta campana se encuentra π! 

    Adelanté que otra sorpresa aguardaba bajo la campana 1/√(1+x²) para 0<x<1/2. ¡A tocar la campana!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota comentó que era una integral inmediata si se había visto antes la derivada de la función argsenh (argumento del seno hiperbólico)... 

ʃ ₀^1/2 g(x) dx = argsenh(1/2) − argsenh(0) = ln(1/2+√(1+1/4)) = ln(1/2+√5/2) = ln(φ)

   ¡Vaya sorpresa, profe! ¡Bajo esta campana está la razón áurea φ! ¡Es una campana de oro!

    Terminó Yoyó recordando la recíproca del seno hiperbólico...  Se deja al lector las recíprocas de las demás funciones hiperbólicas...

    Mire, profe. Si...

y = argsenh(x)

x = senh(y) = (e^y−e^−y)/2 = (e^2y−1)/(2e^y)

e^2y−2xe^y−1 = 0

e^y = x+√(1+x²)

y = ln(x+√(1+x²))