1626. El vaso "perfecto"

     Queríamos diseñar un vaso cilíndrico cuyas proporciones permitieran "una rentabilidad inmejorable y un rendimiento insuperable", esto es..., la mayor capacidad posible con la menor superficie posible, es decir..., ¿qué razón h/r entre la altura y el radio del cilindro serían las idóneas para maximizar el volumen V y minimizar el área A a la vez? (Las medidas h, r, V y A son del interior del vaso.) Pepe Chapuzas saltó del pupitre...

    ¿En qué quedamos? ¿Maximizamos el volumen o minimizamos el área? 

    ¿Qué pensáis los demás? ¿Diseñamos el vaso "perfecto"?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comentó que del cilindro en realidad no nos daban ni el área ni el volumen así que podíamos tomar una cosa como función enlace y la otra como función objetivo. De hecho tampoco nos pedían ni la altura ni el radio sino la relación entre ambos...

    Profe, mire. Obviando la ambigüedad del enunciado...

A = πr² + 2πrh

V = πr²h

h = V/π/r²

A = .πr² + 2V/r

dA/dr = 2πr − 2V/r² = 0

2πr³ = 2V

r = ∛(V/π)

h = V/π/∛(V/π)² = ∛(V/π)

h/r = 1

d²A/dr² = 2π + 4V/r³ > 0

    El vaso será muy "perfecto", profe, pero demasiado cómodo no parece...

    Dejando aparte su opinión, Nina ha minimizado A a partir de V. ¿Quién lo hace al revés?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo hizo al revés... Dada A maximizó V...

    Mire, profe.

h = A/2/π/r − r/2

V = πr²(A/2/π/r − r/2) = Ar/2 − πr³/2

dV/dr = A/2 − 3πr²/2 = 0

A/2 = 3πr²/2

r = √(A/3/π)

h = A/2/π/√(A/3/π) − √(A/3/π)/2 = 3√(A/3/π)/2− √(A/3/π)/2 = √(A/3/π)

h/r = 1

d²V/dr² = − 3πr < 0

    Evidentemente salía lo mismo: el radio y la altura tenían que ser iguales... Comenté en clase que este cambio de perspectiva entre enlace y objetivo se puede efectuar en muchos problemas de optimización...