Habíamos terminado el tema de distribuciones de probabilidad, las
campanas de Gauss, etc., y ya estaba
Pepe Chapuza con su “ejercicio de afianzamiento”...
Mire, profe. Se sabe que el peso
al nacer de los bebés de un determinado país tiene una distribución normal. Se sabe también que el 5% de los
bebés nace con más de 4 kg y que el 20% de los bebés nace con menos
de 2,5 kg . Calcula la esperanza y la varianza del peso de un bebé al nacer.
Pues... eso. A afianzar los conocimientos...
SOLUCIÓN
Nina Guindilla demostró su
afianzamiento:
Profe,
mire. Me están dando P(X>4) =
0,05 y P(X<2,5) = 0,2 con
X ~ N(μ, σ) .
Tipificando P(Z>(4−μ)/σ) =
0,05 y P(Z<(2,5−μ)/σ) = 0,2 con
Z ~ N(0, 1) .
Por lo tanto 0,05 = 1 − Φ((4−μ)/σ)
y 0,2 = 1 − Φ(−(2,5−μ)/σ) .
De donde Φ((4−μ)/σ) =
1,95 y Φ(−(2,5−μ)/σ) = 0,8 .
Buscando en la tabla de la normal estándar (4−μ)/σ = 1,645 y
−(2,5−μ)/σ = 0,84.
Tenemos el sistema
4 − μ = 1,645 σ
−2,5 + μ = 0,84 σ
Sumando las ecuaciones 1,5 =
2,485 σ .
De donde σ = 1,5 / 2,485
= 0,6036 kg . LA VARIANZA ES σ2 =
0,365 kg2 .
Y μ = 4 − 1,645·0,6036
= 3,0071 kg . LA ESPERANZA ES μ = 3,007 kg .
Para terminar, Nina preguntó cuántos bebés
habría que elegir al azar para que la probabilidad de que al menos uno de ellos
pese más de
Pues... ¡termina!
RESOLUCIÓN
Profe, mire. Estamos ante una distribución binomial con p = 0,05 . Si elegimos n
bebés, 0,95 < P(X>0) = 1 −
P(X=0) = 1 − (1−0,05)n = 1 − 0,95 n . Por tanto
0,95 n < 1 − 0,95 = 0,05
n > log 0,05 / log 0,95 = 58,4
La solución es 59 bebés.
Yoyó Peluso terminó...
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