1558. Infinito o nada

    Pepe Chapuza me enseñó esta curiosa medalla. En una de sus caras se apreciaba el símbolo de infinito y en la otra cara había un cero... Pepe me soltó la siguiente pregunta:

    Profe, ¿por qué entre los términos de una progresión aritmética no constante de números naturales, o hay infinitos cuadrados perfectos o no hay ninguno?

    Las preguntas de Pepe siempre me pillan descolocado..., así que redirigí la pregunta a la clase. Tenían una semana para darme una respuesta razonada...

    SOLUCIÓN

    Nina Guindilla respondió...

    Mire, profe. Hay progresiones aritméticas no constantes de números naturales que no contienen ningún cuadrado perfecto. Por ejemplo, todos los términos de la progresión 

A(n) = 10 n + 2 , esto es, { 12 , 22 , 32 , 42 , 52 ... } 

acaban en 2, y por tanto ninguno es un cuadrado perfecto porque los cuadrados perfectos solo pueden acabar en 0, en 1, en 4, en 5, en 6 o en 9.

    Sin embargo, si en una progresión no constante de números naturales hay un cuadrado perfecto, entonces hay infinitos.

    Nina demostró esto obviamente:

    Si para algún  n  es  A(n) = p n + q = k² , entonces para todo  m  será

(k + m p)² =

= k² + 2 k m p + m² p² =

= p n + q + 2 k m p + m² p² =

= p (n + 2 k m + m² p) + q =

= A ( n + 2 k m + m² p ) 

    Nina añadió...

    Profe, mire. El mismo resultado se tiene para los cubos perfectos y para las demás potencias perfectas. En particular, si el primer término de una progresión aritmética no constante de números naturales es  A(1)=1 , entonces la progresión contiene infinitos cuadrados perfectos, infinitos cubos perfectos e infinitas potencias perfectas de cualquier exponente natural.

    Esto había que demostrarlo...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo demostró:

    Mire, profe. Si  A(1) = p + q = 1 , entonces para todo  m  y todo  j

(1+mp)^j =

= 1 + jmp + j(j−1)m²p² / 2 + ... + m^jp^j =

= p + q + jmp + j(j−1)m²p² / 2 + ... + m^jp^j =

= p (1 + jm + j(j−1)m²p / 2 + ... + m^jp^j−1) + q =

= A ( 1 + jm + j(j−1)m²p / 2 + ... + m^jp^j−1 )

    Queda para el lector determinar en que conjuntos numéricos se mueven j, k, m. n. p y q...

    Yoyó se despidió con la progresión  A(n) = 24 n − 23  que tiene la particularidad de que sus tres primeros términos son cuadrados perfectos:

A(1) = 24·1 − 23  = 1 = 1²

A(2) = 24·2 − 23 = 25 = 5²

A(3) = 24·3 − 23 = 49 = 7²

    Solo le advertí de que no buscara una progresión aritmética cuyos cuatro primeros términos fueran cuadrados perfectos: tal cosa no existe...