Pepe Chapuzas mostró en clase el siguiente dibujo en el que se veían tres triángulos rectángulos. En cada triángulo un lado medía 1 y por lo tanto los otros dos lados eran razones trigonométricas de uno de los ángulos agudos:
Mire, profe. Si sumo gráficamente dos ángulos agudos y si trazo una perpendicular a su lado común a un pie de su vértice común ...
Pepe nos mostró este otro dibujo con un triángulo:
... entonces puedo calcular el área de este triángulo de dos formas distintas:
Como la mitad del producto de la base y la altura:
( tg α + tg β ) / 2
Como la mitad del producto de dos lados y el seno del ángulo comprendido.
sec α · sec β · sen (α+β) / 2
Igualando, dividiendo por sec α · sec β / 2 y simplificando, tenemos...
sec α · sec β · sen (α+β) / 2 = ( tg α + tg β ) / 2
sen (α+β) = tg α / sec α / sec β + tg β / sec α / sec β
sen (α+β) = sen α · cos β + cos α · sen β
Era sin duda una preciosa demostración. Merece la pena intentar demostrar de esta manera las otras fórmulas de adición...
SOLUCIÓN
Nina Guindilla dibujó un triángulo obtusángulo de altura 1 pie y rehízo la demostración...
Profe, mire.
sec α · sec β · sen (α−β) / 2 = ( tg α − tg β ) / 2
sen (α−β) = tg α / sec α / sec β − tg β / sec α / sec β
sen (α−β) = sen α · cos β − cos α · sen β
En fin. Estaban las fórmulas para el seno. Faltaban las del coseno...
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso nos recordó que el coseno es el seno del complementario y que por lo tanto el seno era el coseno del complementario. (O sea, el seno del complementario del complementario.)
cos (α+β) =
= sen (90º−α−β) =
= sen (90º−α) · cos β − cos (90º−α) · sen β =
= cos α · cos β − sen α · sen β
cos (α−β) =
= sen (90º−α+β) =
= sen (90º−α) · cos β + cos (90º−α) · sen β =
= cos α · cos β + sen α · sen β
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