1555. Una geometría compleja...

     Estábamos viendo el plano de Gauss y Pepe Chapuza me comentó que era genial poder operar con vectores como si fueran números. Le comenté que sí, que era una potente herramienta el poder trabajar en geometría vectorial del plano mediante la aritmética de los números complejos. Insistió en el asunto y me comentó que había que tener cuidado para no confundir el producto escalar de vectores con el producto de números complejos... No sabía qué rondaba por su cabeza..., así que le dije si podía investigar cuál era la relación entre los dos productos... Esto fue lo que me trajo al día siguiente:

 

    Mire profe. La suma de vectores y la suma de complejos son equivalentes. Y el producto de un escalar por un vector es equivalente al producto de un real por un complejo...

    Pero si escribo  u v  o  u · v  nadie sabe si se trata de un producto escalar de vectores o de un producto de números complejos (que no son para nada productos equivalentes). Para evitar confusiones, en lo que viene a continuación voy a indicar el producto escalar con punto y el producto de números complejos sin punto.

    También voy a indicar el conjugado de  w  como  w  tanto si se interpreta como número complejo o como vector del plano. Aquí y ahora  w  =  Re(w) + Im(w) i  =  ( Re(w) , Im(w) ) .

    Primera fórmula:

u · v  =

=  Re(u) Re(v) + Im(u) Im(v)  =

=  (u/2 + u/2) (v/2 + v/2) + (u/2/i – u/2/i) (v/2/i – v/2/i)  =

=  ( u v + u v + u v + u v – u v + u v + u v – u v ) / 4  =

=  ( u v + u v ) / 2

 

    Se da cuenta. Si dos vectores u y v son ortogonales entonces ¡ u v + u v = 0 !

    Además, es fácil deducir ahora que

 

w · w  =  w · w  =  w w     (el cuadrado del módulo)

    Y también...

w · w  =  (w w + w w) / 2  =  Re (w w)  =  Re (w w)

    Segunda fórmula:

u v  =

=  Re(u) Re(v) – Im(u) Im(v) + Re(u) Im(v) i + Im(u) Re(v) i  =

=  Re(u) Re(v) + Im(u) Im(v) + Re(u) Re(vi) i + Im(u) Im(vi) i  =

=  (u · v) + (u · vi)  i

 

    (Recuerdo que se obtiene wi girando w un ángulo de 90º.)

 

    Además, es fácil deducir ahora que  (ui · v) + (u · vi)  =  0 .

 

    Pepe Chapuza hace honor a su apellido. Le advertí que también habría confusión con  w²  pero Pepe lo tenía previsto:  w²  =  w w  mientras que  w · w  =  |w|² .

 

    En fin, pedí a mis alumnos que utilizaran la primera de las fórmulas de Pepe para demostrar el siguiente resultado...

    Si adherimos a los cuatro lados de un cuadrilátero convexo las hipotenusas de cuatro escuadras (triángulos rectángulos isósceles) como se aprecia en la figura, entonces los vértices de los ángulos rectos de las escuadras determinarán un cuadrilátero ortodiagonal e isodiagonal, o sea, los segmentos rojos serán perpendiculares y tendrán la misma longitud. ¡A ver quién lo consigue antes!

 

SOLUCIÓN

    ¡Cómo no iba a ser Nina Guindilla!

    Mire profe. Llamemos de la siguiente manera a estos vectores (números complejos):

 

 

    Solo hay que demostrar que u y v son ortogonales y que tienen el mismo módulo...

    Para lo primero utilizo la primera fórmula de Pepe: ¿ u v + v u = 0 ?

    Veamos...

u  =  ai + b + bi + c      y también      u  =  − a − di − d  − ci

 

sumando las dos expresiones...

 

2u  =  ( ai + b + bi + c − a − di − d  − ci )  =  ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) )

 

y análogamente...

2v  =  ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) )

2u  =  ( (c−a)(1+i) − (d−b)(1−i) )

2v  =  ( (c−a)(1−i) + (d−b)(1+i) )

por tanto...

4 (u v + v u)  =

=  ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) ) ( (c−a)(1−i) + (d−b)(1+i) ) +

+ ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) ) ( (c−a)(1+i) − (d−b)(1−i) )  =

=  − 2(c−a)(c−a)i + 2(c−a)(d−b) − 2(d−b)(c−a) − 2(d−b)(d−b)i +

+ 2(c−a)(c−a)i − 2(c−a)(d−b) + 2(d−b)(c−a) + 2(d−b)(d−b)i  =

=  0

 

    Para lo segundo hay que demostrar que  u u = v v , o sea , ¿ u u − v v = 0 ?

    Es similar...

4 (u u − v v)  =

=  ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) ) ( (c−a)(1+i) − (d−b)(1−i) ) +

− ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) ) ( (c−a)(1−i) + (d−b)(1+i) )  =

=  2(c−a)(c−a) + 2(c−a)(d−b)i − 2(d−b)(c−a)i + 2(d−b)(d−b) −

− 2(c−a)(c−a) − 2(c−a)(d−b)i + 2(d−b)(c−a)i − 2(d−b)(d−b)  =

=  0

 

    Nina nunca defrauda... Queda para el lector investigar hasta qué punto se puede generalizar este resultado para rectángulos no convexos... y para escuadras adosadas por el interior del rectángulo...

 

    Demuestra la afirmación de Pepe:  (ui · v) + (u · vi)  =  0

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se adelantó a los demás:

    Mire profe. A partir de la segunda fórmula de Pepe...

    Por un lado  u v  =  (u · v) + (u · vi) i .

    Por otro lado  v u  =  (v · u) + (v · ui) i .

    Pero  u v  y  v u  son conjugados, de donde se tiene que  (u · vi)  y  (v · ui)  son opuestos.

    Sin palabras...