454. SOLUCIÓN de 154. Un reto polinómico

    Pepe Chapuzas sabe obtener mucha información de las soluciones de una ecuación polinómica aunque no sepa resolverla. Este reto que ha propuesto requiere ciertas dosis de habilidad. Como pista, ha dicho que hay que factorizar el polinomio del enunciado...

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla ha resuelto este reto con mucha elegancia... por etapas... Nina me dijo que para ir a Plutón era mejor pasar por Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno... Ella iba a calcular  a+b+c,  a²+b²+c²,  a³+b³+c³  y  a⁴+b⁴+c⁴  antes de calcular  a⁵+b⁵+c⁵...

    1) Mire, profe. Al principio creí que la pista de Pepe era una pista falsa puesto que la regla de Ruffini tiene sus limitaciones..., hasta que caí... Si a, b y c son las raíces del polinomio tenemos que  x³–6x²+5x–1 = (x–a)(x–b)(x–c) = x³–(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x–abc, o sea:

a+b+c = 6

ab+ac+bc = 5

abc = 1

    2) Si desarrollamos (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc = a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) tenemos:

a²+b²+c² = 6²–2·5 = 26

    3) Como a, b y c son soluciones de x³–6x²+5x–1 = 0 tenemos las siguientes igualdades:

a³ = 6a²–5a+1

b³ = 6b²–5b+1 

c³ = 6c²–5c+1 

a³+b³+c³ = 6·26–5·6+3 = 129

    4) Multiplicando por a, b y c las igualdades anteriores obtenemos:

a⁴ = 6a³–5a²+a

b⁴ = 6b³–5b²+b 

c⁴ = 6c³–5c²+c 

a⁴+b⁴+c⁴ = 6·129–5·26+6 = 650

     5) Finalmente, volviendo a multiplicar por a, b y c, llegamos a la solución:

a⁵ = 6a⁴–5a³+a²

b⁵ = 6b⁴–5b³+b² 

c⁵ = 6c⁴–5c³+c² 

a⁵+b⁵+c⁵ = 6·650–5·129+26 = 3281

    Calcula  a⁶+b⁶+c⁶  y  a^–1+b^–1+c^–1 .