438. SOLUCIÓN de 138. Funciones periódicas

    Había mandado estudiar la periodicidad de un par de funciones en la tarea para casa y Pepe Chapuzas salió a la pizarra para corregir el ejercicio. Como quedaba poco tiempo para que acabara la clase Pepe se dio mucha prisa. Se dio tanta prisa que dio el resultado (los períodos) sin ningún paso intermedio. Los compañeros empezaron a preguntar cómo lo había hecho pero sonó la campana...

    Echa un vistazo a la solución de Pepe e intenta explicarla.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sabía que solamente cuando son conmensurables los períodos de dos funciones periódicas, la suma de ambas es también una función periódica. (Esto se puede decir también de la resta, el producto y el cociente.)
   
    Profe, mire. Dos números reales no nulos A y B son conmensurables cuando A/B es racional, esto es, si existen dos números naturales M y N tales que MA = NB. Si A y B son los períodos de dos funciones periódicas a y b, entonces P = MA = NB es un período común de a y b y por lo tanto de a+b.
    Sabemos que la función tg es una función periódica de período π, por lo que...

 tg (x:K) = tg (x:K+π) = tg ((x+K·π):K) 

tg (K·x) = tg (K·x+π) = tg (K·(x+π:K))

    O lo que es lo mismo: el período de tg (x:K) es K·π y el período de tg (K·x) es π:K.

    Ahora es fácil entender las soluciones de Pepe. Para f se tiene que 24·π y 18·π son conmensurables (3·24·π = 4·18·π = 72·π) y para g se tiene que π/24 y π/18 también son  conmensurables (4·π/24 = 3·π/18 = π/6).

 

    Prueba que h(x) = tg (x) + tg (πx) no es una función periódica.