435. SOLUCIÓN de 135. Una ecuación trigonométrica

 

    Esta ecuación trigonométrica estaba en la última página del cuaderno de Pepe Chapuzas. Me dijo que no la había resuelto porque no tenía espacio. ¿Tienes espacio tú para resolverla?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nunca se quedaba sin espacio en el cuaderno. Era lo suficientemente previsora para tener siempre cuadernos de repuesto... Mirad cómo resolvió la ecuación trigonométrica...

    Profe, mire. Partimos de las fórmulas del ángulo doble y del ángulo triple:

cos2x = 2cos²x–1

cos3x = 4cos³x–3cosx

    Sus cuadrados son identidades notables:

cos²2x = 4cos⁴x–4cos²x+1

cos²3x = 16cos⁶x–24cos⁴x+9cos²x

    Sustituyendo en la ecuación inicial queda una ecuación en cosx:

16cos⁶x–20cos⁴x+6cos²x = 0

    La solución trivial se tiene cuando cosx = 0, es decir, si  x = 90º y 270º.

    Para hallar otras soluciones simplificamos la ecuación:

4cos⁴x–5cos²x+1,5 = 0

    Esta ecuación bicuadrada en cosx se resuelve con la fórmula general:

cos²x = (5±1):8

    Si cos²x = (5+1):8 = 3/4 entonces cosx = ±√3/2 y x = 30º, 150º, 210º y 330º.

    Si cos²x = (5–1):8 = 1/2 entonces cosx = ±√2/2 y x = 45º, 135º, 225º y 315º.

    Aquí represento las soluciones...

    Nina ha escrito solamente las soluciones propias. Escribe las infinitas soluciones de la forma más sencilla posible.