1674. La seudoesfera

    Pedí a mis alumnos que indagaran acerca de superficies de curvatura constante y automáticamente les vino a la mente las esferas... por analogía con las circunferencias. Entonces Pepe Chapuza comentó que había varios conceptos de curvatura de superficies... entre los que destacaban la curvatura gaussiana y la curvatura media.

    Mire, profe. Si nos referimos a la curvatura de Gauss, la esfera tiene curvatura constante positiva, pero en el espacio hay también superficies con curvatura constante negativa, como las seudoesferas (o pseudoesferas)...

    Indaga tú también...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Una esfera de centro O y radio 1 se puede parametrizar en función de la latitud V y la longitud W:

{ x = cosV cosW ; y = cosV senW ; z = senV }

    En los polos norte y sur las latitudes son extremas (V = ±π/2) y las longitudes quedan indeterminadas... Se puede parametrizar la esfera sin polos cambiando el parámetro V por otro parámetro U de la siguiente manera...

{ x = sechU cosW ; y = sechU senW ; z = tanhU }

    Pues bien, la seudoesfera se puede parametrizar así:

{ x = sechU cosW ; y = sechU senW ; z = U − tanhU }

    La seudoesfera es una superficie de revolución cuya generatriz es una tractriz (persecutriz):

{ x = sechU ; y = 0 ; z = U − tanhU }

    Finalmente, los planos, los conos y los cilindros son superficies de curvatura constante nula...

    Nina Guindilla nos presentó algunas superficies de curvatura gaussiana constante, pero hay otras... Habrá que seguir indagando...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota nos desveló algunas superficies preciosas...

    Mire, profe. Entre las superficies con curvatura gaussiana constante están la de Sievert (positiva), la de Dini (negativa) y la de Kuen (negativa).

    El lector puede ver estas superficies y otras en Internet. También puede indagar sobre las superficies de curvatura media constante... ¡Le sorprenderán!

    Un ejemplo sería la catenoide (relacionada con las catenarias):

{ x = coshU cosW ; y = coshU senW ; z = U }

    Otro ejemplo sería la helicoide (relacionada con las hélices):

{ x = U cosW ; y = U senW ; z = W }