1676. Las ecuaciones implícitas de una recta

     Había explicado en clase que las ecuaciones implícitas de una recta en el espacio consistían en realidad en un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, esto es, la intersección de dos planos secantes. Para que fueran secantes, sendos vectores normales no podían ser paralelos, esto es, el rango de la matriz de coeficientes del sistema tenía que ser dos. Muchos problemas de geometría en que se pedía hallar una recta se podían resolver cómodamente con este tipo de ecuaciones. Pepe Chapuza propuso este:

    Halla la proyección perpendicular de la recta r: (x, y, z) = (1, 4, 3) + λ (2, 3, 6) sobre el plano ϖ: 2x + 7y + z + 5 = 0.

    Si  r⊥ϖ  la proyección sería un punto  P = r ∩ ϖ , pero no es este el caso porque (2, 3, 7) ∦ (2, 7, 1). Así que la proyección es una recta p. Halla sus ecuaciones implícitas. 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo que la ecuación implícita del plano π era una de las ecuaciones implícitas de la recta p puesto que  p ⊂ ϖ ...

    Profe, mire. El otro plano ϱ debe cumplir que  ϱ ⊃ r  y que  ϱ ⊥ ϖ . Por lo tanto el vector normal de ϱ será  (2, 3, 6) × (2, 7, 1) = (–39, 10, 8) y la ecuación de ϱ es – 39(x–1) + 10(y–4) + 8(z–3) = 0, es decir, ϱ: 39x – 10y – 8z + 25 = 0. La solución es  p = ϖ ∩ ϱ .

    Nina propuso este otro problema:

    Halla la perpendicular común a las rectas r: (x y, z) = (2, 5, 8) + λ (1, 3, 1 ) y s: (x, y, z) = (3, 2, 1) + μ (7, 1, 4).

    Si las rectas tuvieran la misma dirección habría infinitas soluciones pero no este el caso porque (1, 3, 1) ∦ (7, 1, 4). Así que solo hay una perpendicular común p. Halla sus ecuaciones implícitas. 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota empezó calculando el vector director de p, (1, 3, 1) × (7, 1, 4) = (11, 3, –20).

    Mire, profe. Podemos determinar  p = ϖ ∩ ϱ  donde  ϖ ⊃  r ∪ p  y  ϱ ⊃ s ∪ p .

    El vector normal de ϖ es (1, 3, 1) × (11, 3, –20) = (–63, 31, –30) por lo que la ecuación de ϖ es –63(x–2) + 31(y–5) – 30(z–8) = 0, esto es, ϖ: 63x – 31y + 30z – 211 = 0.

    El vector normal de ϱ es (7, 1, 4) × (11, 3, –20) = (–32, 184, 10) por lo que la ecuación de ϱ es –16(x–3) + 92(y–2) + 5(z–1) = 0, esto es, ϖ: 16x – 92y – 5z +141= 0.