1675. La circunferencia de Conway

    Pepe Chapuza enunció el famoso problema de la circunferencia de Conway. 

    Mire, profe. Si en un triángulo ABC cualquiera prolongamos desde cada vértice los dos lados que concurren en él la longitud del tercer lado entonces los seis extremos de los lados prolongados son concíclicos.

    Interpreta en un dibujo el enunciado y haz una demostración...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dibujó un triángulo cualquiera... y prolongó cada lado "por ambos lados"...

    Mire, profe. Tracemos la circunferencia inscrita en ABC y sean D, E y F los puntos de tangencia. Estos dividen a los lados del triángulo en segmentos de longitud a, b y c tal como se muestra en el dibujo. Si P, Q, R, S, T y U son los extremos de los lados prolongados entonces tenemos que...

PF = SF = QE = TE = RD = UD = a+b+c

    De aquí se desprende que el incentro J del triángulo ABC está en las mediatrices de los lados prolongados y por ello...

PJ = QJ = RJ = SJ = TJ = UJ

    De aquí se desprende que los seis puntos P, Q, R, S, T y U están en una circunferencia con centro en J.

    ¿Cuánto mide el radio R de esta circunferencia?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota midió...

    Profe, mire. Si el semiperímetro del triángulo ABC mide s = a+b+c y si el radio de la circunferencia inscrita en ABC mide r, entonces, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PFJ por ejemplo, tenemos que R = PJ = √(s²+r²).