1673. Entre un punto y un círculo

    Profe, mire. Calcule las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(−10, −5) y que son tangentes al círculo C de centro Q(10, 10) y radio R = 7.

    Pepe Chapuza ha enunciado este problema de geometría. ¿Te atreves con él?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla siempre se atreve...

    Profe, mire. Primero voy a comprobar que el punto P es exterior a C. Basta probar que la potencia de P respecto de C es positiva...

|PQ|² − R² = (10+10, 10+5)² − 7² = 20² + 15² − 7² = 400 + 225 − 49 = 576 = 24² > 0

...aunque no hace falta utilizar la potencia para deducir la posición del punto respecto del círculo: el círculo C está en el I cuadrante y el punto P está en el III cuadrante...

    Por esa misma razón ninguna de las dos soluciones es vertical (ni horizontal) por lo que las ecuaciones se pueden escribir en forma punto-pendiente. El dibujo es ilustrativo pero no refleja fidedignamente las medidas... Si α y β son los ángulos que se muestran en la figura, las pendientes de las soluciones son...

p = tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α tg β) = (15/20 + 7/24) / (1 − 3/4·7/24) = 4/3

p' = tg (α−β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α tg β) = (15/20 − 7/24) / (1 + 3/4·7/24) = 44/117

    Por lo tanto las soluciones son...

t : y+5 = 4/3 · (x+10)

t' : y+5 = 44/117 · (x+10)

    Las soluciones son "bonitas" en el sentido de que no contienen radicales. ¿Podría alguien indicar cómo se pudo preparar el enunciado para conseguirlo?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se dió cuenta de que la distancia entre P y Q era 25.

    Mire, profe. Se ha utilizado 25 como hipotenusa de dos triángulos pitagóricos: 7-24-25 y 15-20-25. Este último se denomina a veces isíaco en referencia a la diosa Isis de los antiguos egipcios...

1672. El depósito cilíndrico

     Mire, profe. Un depósito cilíndrico con tapa, cuyo interior tiene base B y altura H, pesa P. Obviamente, cuando está vacío su centro de gravedad se halla a altura H/2, y cuando está del todo lleno su centro de gravedad se halla también a esa misma altura... ¿A qué altura h de líquido de densidad D hay que llenar el depósito para que el centro de gravedad esté lo más bajo posible?

    Pepe Chapuza reta a la clase con este problema de optimización. (Se suponía que todos los datos estaban expresados en unidades del SI.) 

SOLUCIÓN

    Para Nina Guindilla los retos son pasatiempos... 

    Profe, mire. La altura del centro de gravedad será la media ponderada de H/2 y h/2 cuyos pesos son P y DBh respectivamente:

(PH/2 + DBh²/2) / (P + DBh)

    Si anulamos la derivada respecto de h tenemos...

DBh (P + DBh) − DB (PH/2 + DBh²/2) = 0

h (P + DBh) − (PH/2 + DBh²/2) = 0

Ph + DBh² − PH/2 − DBh²/2 = 0

DBh²/2 + Ph − PH/2 = 0

...y si C = P/(DB)

h² + 2Ch − CH = 0

h = − C + √(C² + CH)

    (La otra solución no es posible.) 

    Quedaba comprobar que se trataba efectivamente de un mínimo...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota realizó la comprobación teniendo en cuenta que 0 ≤ h ≤ H y que C > 0.

    Profe, mire. El signo de la derivada coincide con el signo de...

h² + 2Ch − CH = (h + C − √(C² + CH)·(h + C + √(C² + CH)

...y por lo tanto con el signo de

h + C − √(C² + CH)

    Así, cuando 0 ≤ h < − C + √(C² + CH), la derivada es negativa y la función es menguante, y cuando − C + √(C² + CH) < h ≤ H, la derivada es positiva y la función es creciente, lo cual demuestra que se trata de un mínimo efectivamente...

1671. Las pirámides egipcias

     Mire, profe. De una pirámide de base cuadrada determinada por L (el lado de la base) y H (la altura) se sabe que la media aritmética de L y H es 197m y la media geométrica de L y H es 195m. ¿Cuánto mide el volumen de la pirámide?

    Pepe Chapuza sueña con ir alguna vez a Egipto... 

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla le gustaría ser egiptóloga... Nina calculó L y H... 

    Profe, mire. Si la media aritmética es 197m, entonces L+H = 2·197; y si la media geométrica es 195m, entonces L·H = 195². Por lo tanto L y H son las soluciones de la ecuación de segundo grado x² – 2·197x + 195²  =  0, que se puede resolver completando cuadrados...

(x–197)² = 197²–195² = 784

x–197 = ±√784 = ±28

 x = 197±28 ∊ {225, 169}

    Por lo tanto hay dos posibilidades: L = 225m y H = 169m o L = 169m y H = 225m. 

    La fórmula que nos da el volumen de la pirámide es V = L²·H/3. En un caso tendremos V = 225²·169/3 = 2851875m³ y en el otro V = 169²·225/3 = 2142075m³.

    ¿A qué altura se halla el centro de gravedad de la pirámide en cada caso?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota, ducho en jeroglíficos, intervino... 

    Mire, profe. La altura del centro de gravedad no depende de L. El baricentro se encuentra a un cuarto de H. Por lo tanto, en un caso será 169/4 = 42,25m y en el otro 225/4 = 56,25m.