1672. El depósito cilíndrico

     Mire, profe. Un depósito cilíndrico con tapa, cuyo interior tiene base B y altura H, pesa P. Obviamente, cuando está vacío su centro de gravedad se halla a altura H/2, y cuando está del todo lleno su centro de gravedad se halla también a esa misma altura... ¿A qué altura h de líquido de densidad D hay que llenar el depósito para que el centro de gravedad esté lo más bajo posible?

    Pepe Chapuza reta a la clase con este problema de optimización. (Se suponía que todos los datos estaban expresados en unidades del SI.) 

SOLUCIÓN

    Para Nina Guindilla los retos son pasatiempos... 

    Profe, mire. La altura del centro de gravedad será la media ponderada de H/2 y h/2 cuyos pesos son P y DBh respectivamente:

(PH/2 + DBh²/2) / (P + DBh)

    Si anulamos la derivada respecto de h tenemos...

DBh (P + DBh) − DB (PH/2 + DBh²/2) = 0

h (P + DBh) − (PH/2 + DBh²/2) = 0

Ph + DBh² − PH/2 − DBh²/2 = 0

DBh²/2 + Ph − PH/2 = 0

...y si C = P/(DB)

h² + 2Ch − CH = 0

h = − C + √(C² + CH)

    (La otra solución no es posible.) 

    Quedaba comprobar que se trataba efectivamente de un mínimo...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota realizó la comprobación teniendo en cuenta que 0 ≤ h ≤ H y que C > 0.

    Profe, mire. El signo de la derivada coincide con el signo de...

h² + 2Ch − CH = (h + C − √(C² + CH)·(h + C + √(C² + CH)

...y por lo tanto con el signo de

h + C − √(C² + CH)

    Así, cuando 0 ≤ h < − C + √(C² + CH), la derivada es negativa y la función es menguante, y cuando − C + √(C² + CH) < h ≤ H, la derivada es positiva y la función es creciente, lo cual demuestra que se trata de un mínimo efectivamente...