martes, 6 de febrero de 2018

1513. Tres puntos en la esfera. RESOLUCIÓN

    El problema que ha propuesto Pepe Chapuzas esta mañana es de probabilidad...

    Mire, profe. Si elegimos al azar tres puntos en una esfera, ¿cuál es la probabilidad de que los tres estén en una misma semiesfera?

    Por esfera entendemos solo la superficie esférica... Razonad vuestras respuestas...

SOLUCIÓN

    Os escribo el razonamiento de Nina Guindilla...

    Profe, mire. La probabilidad de que dos puntos elegidos al azar sean coincidentes u opuestos es nula ya que una esfera tiene infinitos puntos... Esos dos puntos determinan una circunferencia máxima en la esfera... La probabilidad de que el tercero caiga en esa circunferencia máxima es proporcional al área que ocupa tal circunferencia... Como una circunferencia es un objeto unidimensional, su área es 0, de lo que se deduce que es imposible que tres puntos elegidos al azar en la esfera estén en una circunferencia máxima... Como tres puntos diferentes de una esfera no pueden estar alineados hay una circunferencia que pasa por ellos. Esa circunferencia, como hemos visto, no es máxima sino menor, y es la intersección del plano determinado por los tres puntos con la esfera. Dicho plano no puede pasar por el centro de la esfera ya que contiene una circunferencia menor... Así pues, el plano paralelo al anterior que pasa por el centro de la esfera divide a esta en dos semiesferas... y una de ellas contiene a los tres puntos. Por lo tanto la probabilidad pedida en el problema es 1. ¡Es un suceso seguro!

    Tras la parrafada de Nina está claro que la intuición falla más de lo que creemos...
    Y si consideramos la esfera maciza... ¿cuál sería la probabilidad de que tres puntos elegidos al azar estén en una misma semiesfera maciza?

RESOLUCIÓN

    Oigamos a Yoyó Peluso:

    Profe, mire. La superficie esférica no tiene volumen así que los tres puntos estarán en el interior y serán diferentes... Las proyecciones de los tres puntos desde el centro de la esfera sobre su superficie nos da tres puntos en esta. Por cuestión de azar y probabilidad, las tres proyecciones son puntos que están en las condiciones del problema anterior y Nina ha demostrado que hay una semiesfera que los contendría, por lo que la semiesfera maciza correspondiente contendrá a los tres puntos iniciales. La probabilidad vuelve a ser 1...

8 comentarios:

  1. Si los 3 puntos estan sobre el ecuador , entonces si estan sobre el circulo maximo, y es dificil determinar a que semiesfera pertenecen, por lo tanto la probabilida no puede ser 1.
    saludos Gabriel

    ResponderEliminar
  2. Hola Gabriel. Hay infinitos puntos en la superficie de una esfera. Una vez elegido al azar el primero, la probabilidad de que el segundo coincida con el primero o sea diametralmente opuesto sería 2/infinito = 0. Por tanto esos dos puntos determinan una única circunferencia máxima. La probabilidad de que el tercer punto caiga en esa circunferencia sería igual al cociente entre las áreas de la circunferencia y la esfera, esto es, 0. Por tanto es imposible que los tres puntos estén en una circunferencia máxima. Si establecemos un ecuador a priori en la esfera, la probabilidad de que un punto al azar caiga en el ecuador sería nula por el mismo motivo. No olvidemos que los puntos no tienen dimensión (no tienen longitud), las líneas tienen 1 dimensión (no tienen área) y las superficies tienen dos dimensiones (no tienen volumen). Un saludo.

    ResponderEliminar
  3. No es un tema para tratar en un marco tan reducido, pero el tema de la probabilidad , no esta enfocado correctamente todo n/infinito=0 , siempre 2 puntos sobre la esfera determinan un circulo maximo , sin que sea necesario que sean diametralmente opuestos .Pero no es un tema para este marco reducido. un gran saludo

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Hola Gabriel. Dos puntos en la esfera no coincidentes ni opuestos determinan una única circunferencia máxima. (Si fueran coincidentes u opuestos, por ellos pasarían infinitas circunferencias máximas y por tanto no determinarían ninguna, pero de todas formas es imposible que dos puntos al azar sean coincidentes u opuestos porque hay infinitos puntos. Tan imposible como que al elegir dos números irracionales al azar coincidieran sus infinitos decimales...). Este problema de probabilidad no es mío, es un problema clásico y está correctamente planteado y resuelto desde hace mucho tiempo. Un saludo. José.

      Eliminar
    2. Este razomaniento refuta el criterio usado. "Existen infinitos puntos sobre una esfera , a cada punto le corresponde un punto diametralmente opuesto, luego hay infinitos circulos maximos , la probabilidad de encontrar 3 puntos no alineados es 3/infito=0 luego solo existen 3 puntos que determinan circulos maximos" .Por supuesto que este razonamiento no es cierto, pero revela el uso de un criterio de probabilidad no correcto.

      Eliminar
    3. Hola Gabriel. Su razonamiento, además de no ser cierto, es erróneo, ya que supone 3 casos favorables de obtener 3 puntos no alineados (¿está confundiendo casos favorables con puntos?). No es lo mismo obtener 3 puntos no alineados cualesquiera (infinitos casos favorables) que 3 puntos determinados (1 caso favorable si no importa el orden). Obtener puntos determinados al azar es imposible, por eso la probabilidad de obtener un segundo punto coincidente u opuesto es nula por estar determinado. En mi razonamiento hay 2 casos favorables... Primer caso: segundo punto coincidente. Segundo caso: segundo punto opuesto. Son los dos únicos casos en que el segundo punto no determina una circunferencia máxima. Su razonamiento, por tanto, no refuta nada porque no es similar. (Por cierto, en una superficie esférica, debido a la curvatura, tres puntos no pueden estar alineados a no ser que coincidan dos... o que se confunda línea recta con circunferencia máxima...)
      De todos modos no hubiera hecho falta recurrir a 2/infinito = 0... Sencillamente, los puntos no tienen área...
      El problema es diferente si solo se consideran las dos semiesferas separadas por una circunferencia máxima predeterminada (el ecuador terrestre y los hemisferios norte y sur por ejemplo). En ese caso la probabilidad sería 1/4. Un saludo. José.

      Eliminar
  4. La conclusión , ha sido mal interpretada, he querido decir :3 puntos solo pueden determinar un circulo máximo o sea estar alineados en una circunferencia máxima , el criterio 3/infinito =0 descarta la posibilidad de tres puntos alineados sobre un circulo menor en una de los semiesferas ,partiendo de la hipótesis que existen infitos círculos máximos,por supuesto este razonamiento es falso , respecto de la probabilidad de un evento de 3 puntos, pues existe la posibilidad de que estén en un circulo máximo y también la posibilidad que estén sobre un circulo menor sobre una de las semiesferas , el error esta en la división n/infinito=0 , pues del mismo modo como no se puede dividir por 0, no es posible dividir por infinito. Queda por determinar que probabilidad hay para cada caso si 3 puntos determinan un circulo máximo o un circulo menor perteneciente a una de la semiesferas , y tal problema lo dejo para ti, a mi solo me molesto el criterio de la división por infinito. De todos modos , este marco es muy limitado para un dialogo de este tipo, aun cuando siempre es posible aprender algo.
    Saludos Gabriel

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Hola Gabriel. Si tomamos una molécula de agua del océano, la devolvemos y, al cabo de un año, volvemos a tomar una molécula de agua, la probabilidad de que sea la misma es ínfima pero no llega a ser cero. Aunque enorme, el número de moléculas de agua en el océano es finito. Estrictamente, se trataría de una variable aleatoria discreta... En el problema de los tres puntos en la esfera se trabaja con variables aleatorias continuas e infinitos puntos. Hay que distinguir a veces entre realidad y modelo matemático. Aquí, las probabilidades elementales son nulas y por eso se habla de distribuciones continuas de probabilidad... Por supuesto que se pueden elegir deliberadamente tres puntos en una circunferencia máxima pero cuando se hace al azar la cosa cambia: hay casos favorables para sucesos imposibles... porque los casos posibles son infinitos...
      Hay dos formas de evitar la cuestión de la circunferencia máxima. Una es la utilizada aquí, esto es, recurrir al azar y a la probabilidad. La otra es contemplar semiesferas cerradas, es decir, admitir que una circunferencia máxima divide a la esfera en dos semiesferas y pertenece a ambas... (El ecuador sería de los dos hemisferios norte y sur.) El enunciado sin recurrir al azar o a la probabilidad sería entonces algo así: Demuestra que tres puntos cualesquiera de una esfera siempre están en una misma semiesfera cerrada. Pero así me gusta menos. Un saludo.

      Eliminar