viernes, 2 de febrero de 2018

1508. El teorema de De Gua. RESOLUCIÓN

    El reto del fin de semana consistía en el siguiente problema...
    Había que calcular el área del triángulo ABC...
   
Los datos eran los siguientes...
    Los puntos A, B y C estaban en los ejes "x", "y" y "z" respectivamente. (Por supuesto, los ejes eran perpendiculares entre sí...)
    El punto O estaba en los tres ejes (o sea, que era el origen de coordenadas).
    Las áreas de los triángulos OAB, OAC y OBC eran 16m2, 12m2 y 48m2 respectivamente...
    Pepe Chapuzas exclamó:

    ¡Está "chupao"! Con el teorema de De Gua...

    Los compañeros pensaron que Pepe estaba... de gua...sa... pero no...
    Investiga lo que dice el teorema de De Gua y resuelve el reto.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el teorema de De Gua...

    Profe, mire. Según el teorema de De Gua,


[ABC]2  =  [OAB]2 [OAC]2 [OBC]2.

(los corchetes indican las áreas de los triángulos). 
    ¡Claro! Así es fácil...
[ABC]2  =  162 + 122 + 482  = 2704
[ABC]  =  2704  =  52

    Se le olvidó a Nina decir que eran metros cuadrados... y es que no se quedó del todo satisfecha... Nina tenía que demostrar el teorema de De Gua...

    Profe, mire. Determinemos los puntos por sus coordenadas:


O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0) y C(0,0,c)
y supongamos que a, b, c > 0.
    Las áreas de los triángulos miden
[OAB] =  ab/2
[OAC] =  ac/2
[OBC] =  bc/2
    El plano que pasa por A, B y C es
bcx + acy + abz = abc
    La distancia de O a este plano es
abc / ((bc)2+(ac)2+(ab)2)
    El volumen del tetraedro OABC mide

abc/6 = [ABC] · abc / ((bc)2+(ac)2+(ab)2) / 3
    De donde
[ABC] =  ((bc)2+(ac)2+(ab)2) / 2
    Por tanto
[ABC] =  ((bc)2+(ac)2+(ab)2) / 4  =  (bc/2)2+(ac/2)2+(ab/2) =  [OBC]2 [OAC]2 [OAB]2

    Calcula el volumen del tetraedro OABC.

RESOLUCIÓN

    La tarea era fácil. Yoyó Peluso no tuvo ninguna dificultad...

    Mire, profe.
[OAB]·[OAC]·[OBC] = ab/2 · ac/2 · bc/2 = (abc)2/8
abc = √([OAB]·[OAC]·[OBC]) · 8

y el volumen del tetraedro OABC medirá


abc/6  =  (16·12·48) · / 6  =  9216 · / 3  =  96 · / 3  =  322  =  45,254834 m3.

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