Mire, profe. Cuando nos enseñó la multiplicación matricial pensé que era una operación caprichosa que ni siquiera era conmutativa: ¡el orden de los factores sí alteraba el producto! Y cuando vimos la potencia matricial aprendimos que era una "fábrica" de matrices conmutables porque Am·An = Am+n = An+m = An·Am: ¡dos potencias de una matriz son conmutables! Además, me encantan las fórmulas de las potencias enésimas... ya que proporcionan las infinitas potencias de una matriz...
Nina Guindilla comenzó comprobando que A0 = I.
Profe, mire: (20+2) : 3 = 1; (20−1) : 3 = 0; (21−2) : 3 = 0; (21+1) : 3 = 1.
Además, las fórmulas sirven para calcular la inversa de A y, de modo similar, se podría demostrar que sirve para las potencias de A−1.
Demostrar las fórmulas para la potencia enésima inductivamente es fácil... pero... ¿cómo se pueden obtener dichas fórmulas?
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota utilizó herramientas sofisticadas...
Mire, profe. Voy a diagonalizar la matriz A = L·D·L−1 donde L es la matriz de los autovectores (columnas) de A, y D es la matriz de los autovalores (diagonal) de A. Entonces
Los autovalores son las soluciones de la ecuación | A − λ I | = 0 .
Por tanto
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