1660. Parábolas encadenadas

    Profe, mire. Sea la parábola y = x² + c para algún c>0. Con centro en O(0, 0) giramos la parábola en −90º para obtener otra parábola. ¿Cuánto vale c para que ambas parábolas sean tangentes? Si con centro en O(0, 0) giramos ambas parábolas en 180º obtenemos otras dos de modo que las cuatro  encierran una región del plano. ¿Cuánto mide el área de dicha región?

    Pepe Chapuza me ha propuesto este hermoso problema de geometría. (El dibujo daba alguna pista...) Dejo que la clase lo resuelva...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Como la parábola inicial es simétrica respecto de su eje (que es el eje de ordenadas), si es tangente a la segunda parábola, será también tangente a la bisectriz del primer cuadrante en el mismo punto de tangencia, y por esto la ecuación x² + c = x tendrá una solución única, esto es, un discriminante nulo...

x² − x + c = 0

1 − 4c = 0

c = 1/4

    El punto de tangencia es T(1/2, 1/2) y el vértice de la parábola inicial es V(0, 1/4). Los puntos de tangencia de las cuatro parábolas determinan un cuadrado de lado 1 y área 1×1=1 y este cuadrado determina con las parábolas cuatro segmentos parabólicos de área 4/3×1/8=1/6 cada uno (según la fórmula de Arquímedes). Así pues, el área de la región será la del cuadrado menos las de los segmentos parabólicos, esto es, 1 – 4/6 = 1/3. (Además los focos de las parábolas caen en los puntos medios de los lados del cuadrado y por tanto los lados del cuadrado son los lados rectos de las parábolas...)

    Nina Guindilla se lució... Entonces propuse yo el siguiente problema... 

    En un triángulo equilátero ABC inscribimos el segmento parabólico con cuerda AB y vértice en el punto medio de la mediana del triángulo sobre AB. Demuestra que el arco parabólico AB es tangente a los lados AC y BC del triángulo. ¿Dónde se halla el foco de la parábola?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota también se lució... 

    Profe mire. Sea CD la mediana sobre AB y ubiquemos C(0, –1) y D(0, 1). El vértice de la parábola será O(0, 0) y su ecuación y = ax². La mediana del triángulo mide 2 y por tanto su lado mide 2/sen60º = 4/√3, así que localizamos A(2/√3, 1) y B(–2/√3, 1) que han de satisfacer la ecuación de la parábola, o sea, 1 = 4a/3, a = 3/4, así que el foco se encuentra en F(0, 1/3) que es el centro del triángulo. La pendiente de la parábola en A será 2ax = 2ᐧ3/4ᐧ2/√3 = √3 = tg 60º, que es la pendiente del lado AC, por lo que la parábola es tangente al lado AC en A y por simetría, al lado BC en B.